实际情境建模与函数应用
抛物线型拱桥/轨道 + 函数拟合 + 方案选择
★★★★☆
如图，在等边 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = BC = CA = 6\)。点 \(D\) 在边 \(BC\) 上（\(D\) 不与 \(B\)、\(C\) 重合）。将 \(\triangle ABD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(60^{\circ}\)，点 \(B\) 的对应点为 \(C\)，点 \(D\) 的对应点为 \(E\)，连接 \(DE\)。
（1） 求证：\(\triangle ADE\) 为等边三角形。
（2） 若 \(BD = 2\)，求 \(AD\) 和 \(DE\) 的长。
（3） 设 \(BD = x\)（\(0 < x < 6\)），求 \(AD^2\) 关于 \(x\) 的表达式。是否存在两个不同的位置 \(D_1\)、\(D_2\)，使得 \(AD_1 = AD_2\)？若存在，指出 \(BD_1\) 与 \(BD_2\) 的数量关系；若不存在，请说明理由。
| 基础能力 | 在本题中的体现 |
|---|---|
| 旋转的性质 | 旋转 60° → 对应边等、对应角等 |
| 等边三角形判定 | \(AD = AE\)，\(\angle DAE = 60^{\circ}\) |
| 勾股定理 | 等边三角形的高 + 动点横坐标差 |
| 二次函数配方法 | \(AD^2 = (x-3)^2 + 27\) |
| 对称性分析 | \(AD^2\) 关于 \(x=3\) 对称 |
| # | 易错点 | 错在哪一步 | 怎么避免 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| ① | 试图用余弦定理求 \(AD\) | (2) 求 \(AD\) 时 | 八年级没有余弦定理。正确做法是作高 \(AH\)，利用勾股定理 | ||
| ② | \(HD = 3 - x\) 忘了加绝对值 | (3) 表达 \(HD\) 时 | \(D\) 可能在 \(H\) 左侧（\(x<3\)）或右侧（\(x>3\)），\(HD = | 3-x | \) |
| ③ | (3) 中直接写 \(x_{1} + x_{2} = 6\)，不点明"关于中点对称" | 结论表述时 | 代数结果需要翻译成几何语言：对称于 \(BC\) 中点 \(H\) | ||
| ④ | 配方后忘记 \(AD^{2}\) 的最小值对应 \(AD\) 的最小值 | 取平方根时 | \(AD > 0\)，\(AD^{2}\) 最小 \(\Rightarrow\) \(AD\) 最小 |