新定义问题与坐标几何
自定义运算/概念 + 坐标几何综合
★★★★☆
题型定位： 第 8 期，几何动点 + 旋转构造（对标 25 题）。选择半角模型因为它是最经典的八年级几何压轴结构——只用全等和勾股，不涉及九年级的相似和圆。
四项学校风格模块：
徐汇风格契合度：
10维自检：
如图，在正方形 \(ABCD\) 中，\(AB = 6\)。点 \(E\) 在边 \(BC\) 上（\(E\) 不与 \(B\)、\(C\) 重合），点 \(F\) 在边 \(CD\) 上（\(F\) 不与 \(C\)、\(D\) 重合），且 \(\angle EAF = 45^{\circ}\)。
（1） 求证：\(BE + DF = EF\)。
（提示：将 \(\triangle ADF\) 绕点 \(A\) 顺时针旋转 \(90^{\circ}\)，观察旋转后的图形。）
（2） 若 \(BE = 2\)，求 \(DF\) 和 \(EF\) 的长，并求 \(\triangle AEF\) 的面积。
（3） 设 \(BE = x\)（\(0 < x < 6\)）。求证：\(\triangle CEF\) 的周长为定值，并求出这个定值。
| 基础能力 | 在本题中的体现 |
|---|---|
| 旋转的性质 | 旋转前后对应线段相等、对应角相等 |
| 全等三角形判定 (SAS) | 旋转得 \(AG = AF\)，证 \(\triangle GAE \cong \triangle FAE\) |
| 勾股定理 | (2) 中验证 \(\triangle CEF\) 为直角三角形 |
| 代数表达 | (3) 中用 \(x\) 表示各线段长度 |
| 整体代入简化 | (3) 中周长互相抵消得出定值 |
| # | 易错点 | 错在哪一步 | 怎么避免 |
|---|---|---|---|
| ① | 旋转方向搞反——绕 \(A\) 逆时针转 \(\triangle ADF\)，结果 \(F\) 跑到正方形左侧去了 | 旋转的第一步 | 题目提示了"顺时针旋转"——顺时针 \(90^{\circ}\) 使 \(AD\) 落到 \(AB\)，\(F\) 落到 \(CB\) 延长线下方。画草图用箭头标旋转方向 |
| ② | SAS 全等时用错对应——把 \(AE\) 对应到 \(AG\) 而不是公共边 | 证全等时 | \(AE\) 是公共边，在两个三角形中都是自身。\(AG = AF\) 是旋转给的等边 |
| ③ | (2) 中勾股方程展开后漏项——\(y^2\) 两边消去但没注意 | 展开 \((2+y)^2\) 时 | 展开后两边 \(y^2\) 消去，方程降为一次，这是刻意设计的——命题者不想让你解二次方程 |
| ④ | (3) 试图解出 \(y\) 再代入——导出了二次关系但不必解 | 算周长时 | 注意到周长表达式中 \(x + y\) 和 \(-x - y\) 可以直接抵消，不需要单独求 \(y\) |