动点问题与相似三角形
动点轨迹 + 相似三角形判定与性质
★★★★☆
对标新轮换表第 1 期「函数综合·反比例+几何构造」。全程八年级知识（反比例函数+勾股定理+等腰分类+无理方程）。选 \(k=12\) 和 \(P(4,3)\) 是为了让 \(AB=5\)（3-4-5 三角形），降低计算门槛的同时不损失思维深度。第(3)问五个解的设计旨在训练"系统性枚举"——不是求"那个"答案，是求"所有"答案。
如图，点 \(P\) 在反比例函数 \(y = \dfrac{12}{x}\;(x > 0)\) 的图像上运动。过点 \(P\) 作 \(PA \perp x\) 轴于点 \(A\)，作 \(PB \perp y\) 轴于点 \(B\)。已知当 \(P\) 的横坐标为 \(4\) 时，\(P\) 的纵坐标为 \(3\)。
图：\(P\) 在 \(y=\frac{12}{x}\) 上，\(PA\perp x\) 轴，\(PB\perp y\) 轴。矩形 \(OAPB\) 的对角线为 \(AB\)。
（1）设 \(P\) 的坐标为 \((x_P, y_P)\)。求证：无论 \(P\) 在图像上如何移动，矩形 \(OAPB\) 的面积始终为一个定值，并求出这个定值。
（2）当 \(P\) 的横坐标为 \(4\) 时（即图中的位置），求线段 \(AB\) 的长度。
（3）在 \(x\) 轴上找一点 \(C\)，使得 \(\triangle PBC\) 为等腰三角形。求出所有满足条件的 \(C\) 点坐标。（\(P\) 仍取横坐标为 \(4\) 的位置）
| 易错点 | 原因 | 避免方法 |
|---|---|---|
| (1) 写成 \(S = x + y\) | 面积公式记混 | 矩形面积 = 底×高，两个边分别垂直于坐标轴 |
| (2) 把 \(AB\) 当 \(PA+PB\) | 混淆距离与勾股定理 | 对角线用 \(\sqrt{a^2+b^2}\)，不是 \(a+b\) |
| (3) 遗漏 "\(x\) 轴负半轴"的 \(c<0\) 解 | 只看图忘了负半轴也在 \(x\) 轴上 | 题目只说 "在 \(x\) 轴上"，不限定正半轴 |
| (3) 三种等腰情况只写两种 | 忘记 "三边选二" 有三种组合 | 枚举：PB=PC、PB=BC、PC=BC |