数学出题思路第5期 — 20260511

20260511

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题型

参数与存在性问题

含参数方程 + 等腰/直角三角形存在性

★★★★☆

题型定位：本期对应 10 期轮换 第5期"参数+存在性"，融合第25题类（几何动点+存在性）和去套路化命题方向。全程仅用八年级下知识（一次函数、坐标几何、平行四边形、勾股定理），不涉及九年级内容。

三问梯度设计：

(1) 入口极低（2分）：平行四边形顶点坐标计算——课本例题级别的直接应用，确保任何学生都能入手。
(2) 核心区分度（5分）：引入参数 \(t\) 表达动点，建立面积函数 \(S = |12-24t|\)。两个层次区分——(i) 建模能力（能否正确写出坐标表达式并化简），(ii) 解绝对值方程的两个解（能否完整处理 ± 号）。最小值在 \(t = 1/2\) 处（\(S = 0\)，三点共线），是几何直觉的检验点。
(3) 拔高探究（5分）：\(QA = QB = QC\) 的判定。命题巧思：\(A\)、\(B\) 的对称性使 \(QA = QB\) 自动成立——这是本题的"隐形台阶"——善于观察的学生直接越过它进入 \(QA = QC\) 的简单方程，不善于观察的学生陷入无谓的二元方程组。这体现了中考数学"用智慧代替蛮力"的命题取向。

趋势契合度：

学生常见错误预判：

考纲对应：平行四边形 ✓ / 坐标几何 ✓ / 一次函数参数表达 ✓ / 勾股定理 ✓ / 绝对值方程 ✓ / 对称性分析 ✓

在平面直角坐标系中，已知点 \(A(-3, 0)\)，\(B(3, 0)\)，\(C(0, 4)\)。

求点 \(D\) 的坐标，使四边形 \(ABCD\) 为平行四边形。

点 \(P\) 在线段 \(AC\) 上运动。设 \(t = \dfrac{AP}{AC}\;(0 \leqslant t \leqslant 1)\)，\(\triangle PBD\) 的面积为 \(S\)。

（i）用 \(t\) 表示 \(S\)。

（ii）当 \(S = 9\) 时，求点 \(P\) 的坐标。

在 \(y\) 轴上是否存在点 \(Q\)，使 \(QA = QB = QC\)（即 \(Q\) 到 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三点的距离相等）？若存在，求出 \(Q\) 的坐标及此时的距离；若不存在，请说明理由。

易错点	正确做法
平行四边形顶点顺序混淆	明确"\(ABCD\) 为平行四边形"中各顶点为顺序排列的对边顶点，\(A\) 对 \(C\)，\(B\) 对 \(D\)
面积绝对值漏掉	动点 \(P\) 在 \(AC\) 上移动时 \(S = f(t)\) 可能变号，必须带绝对值。本题恰好在中点处面积为零（三点共线）
解绝对值方程只取正号	\(	12-24t	=9\) 必须讨论 \(\pm 9\)，得出两个 \(t\) 后还要验证是否在 \([0,1]\) 内
第(3)问不观察对称性	列 \(QA = QB\) 联立方程后发现恒等（浪费大量时间）。应先注意到 \(A\)、\(B\) 关于 \(y\) 轴对称
第(3)问的解漏单位	\(y = \frac{7}{8}\) 是坐标值，题目问的是 \(Q\) 的坐标，答案应写 \((0, \frac{7}{8})\)