折叠问题——轴对称与勾股定理
矩形/三角形折叠 + 轴对称性质 + 勾股定理
★★★★☆
题型定位：本卷对标 10期轮换第4期"折叠+轴对称+勾股"，融合第18题类（图形折叠/翻折）和实践操作类（折纸→数学建模）。
三问梯度设计：
趋势契合度：
易错点预判：学生最常见的三个错误——(1)误以为 \(AE=BC\)；(2)忘记折痕=垂直平分线，在(1)(ii)无法下手；(3)第(3)问只解出 \(b'=8\)（已超出范围）就草草结束，漏掉 \(b'=2\)。
如图，在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB = 4\)，\(BC = 5\)。将矩形沿过点 \(B\) 的直线折叠，使点 \(C\) 落在 \(AD\) 边上，落点记为 \(E\)，折痕与 \(CD\) 边交于点 \(F\)。
图：矩形 \(ABCD\) 沿 \(BF\) 折叠后，\(C\) 与 \(E\) 重合，\(F\) 在 \(CD\) 边上。
（i）求 \(AE\) 和 \(BE\) 的长度。（3分）
（ii）求 \(CF\) 的长度。（3分）
连接 \(CE\)，交折痕 \(BF\) 于点 \(G\)。
（i）求证：\(G\) 是 \(CE\) 的中点，且 \(BG \perp CE\)。（3分）
（ii）求 \(\triangle BCG\) 的面积。（3分）
将折叠方式改为：沿过点 \(C\) 的直线折叠，使点 \(B\) 落在 \(AD\) 边上，落点记为 \(B'\)，折痕与 \(AB\) 边交于点 \(H\)。
（i）求此时 \(AB'\) 的长度和折痕 \(CH\) 的长度。（3分）
（ii）折痕 \(CH\) 是否恰好经过矩形对角线的交点（即矩形中心）？若经过，请说明理由；若不经过，请说明原因。（2分）
| 易错点 | 说明 |
|---|---|
| 混淆 \(AE\) 和 \(BE\) | 部分学生直接令 \(AE = BC = 5\)，忽略了 \(AE\) 并非折叠的对应边——\(BE = BC\) 才是 |
| 忘记"垂直平分线" | 折叠问题中折痕 = 对应点连线的垂直平分线，这是最核心的桥梁。忘记这一条，(2)问直接卡死 |
| 斜率和中点算错 | \(CE\) 斜率 \(\frac{1}{2}\) 而非 \(\frac{1}{3}\) 或 \(\frac{2}{4}\)……务必逐一代入验证 |
| 第(3)问漏解 | \((5-b')^2=9\) 拆出两个值，需检查哪个在定义域内。学生可能看到 \(b'=8\) 就放弃，忘了 \(b'=2\) 是有效解 |
| 矩形中心坐标算错 | 矩形中心 = 对角线交点 = 顶点坐标的算术平均：\(\left(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}\right)\)，不是 \(\left(\frac{AB}{2}, \frac{BC}{2}\right)\) |