20260516 八年级 02
★★★★☆
（待补充——请在小题 MD 文件中添加「## 出题思路」章节）
在等腰 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle A = 90^{\circ}\)，\(AB = AC\)，\(BC = 4\)。点 \(D\) 为 \(BC\) 的中点。将 \(\triangle ABD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(90^{\circ}\) 得到 \(\triangle ACE\)，点 \(B\) 的对应点为 \(C\)，点 \(D\) 的对应点为 \(E\)。连接 \(DE\)，则 \(DE\) 的长为（ ）
A. \(2\) B. \(2\sqrt{2}\) C. \(4\) D. \(4\sqrt{2}\)
点 \(P\) 在反比例函数 \(y = \dfrac{4}{x}\)（\(x > 0\)）的图像上运动，\(PA \perp x\) 轴于 \(A\)，\(PB \perp y\) 轴于 \(B\)。点 \(C\) 为线段 \(AB\) 的中点。随着 \(P\) 的运动，点 \(C\) 的轨迹是（ ）
A. 一条直线 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 一个圆
在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = 5\)，\(AC = 12\)，\(BC = 13\)。\(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心。则 \(\triangle AIB\) 的面积为 \_\_\_\_\_\_\_\_。
在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = 17\)，\(AC = 10\)，\(BC = 9\)。\(AD \perp BC\) 于 \(D\)。则 \(BD\) 的长为 \_\_\_\_\_\_\_\_。
B。等腰 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中 \(AB = AC = 2\sqrt{2}\)。\(D\) 为 \(BC\) 中点，斜边中线 \(AD = \frac{1}{2}BC = 2\)。旋转 \(90^{\circ}\)：\(\triangle ABD \cong \triangle ACE\)，\(AD = AE = 2\)，\(\angle DAE = 90^{\circ}\)。\(\triangle ADE\) 为等腰直角三角形，\(DE = 2\sqrt{2}\)。
坎：旋转后识别出 \(\triangle ADE\) 是等腰直角三角形，配合斜边中线性质。
B。设 \(P(t, \frac{4}{t})\)。\(A(t, 0)\)，\(B(0, \frac{4}{t})\)。中点 \(C(\frac{t}{2}, \frac{2}{t})\)。横纵坐标之积：\(\frac{t}{2} \cdot \frac{2}{t} = 1\)（定值）。\(\therefore\) \(C\) 在双曲线 \(y = \frac{1}{x}\) 上。
坎：不求轨迹方程，直接发现两坐标乘积恒为常数——反比例函数的核心特征。
5。\(5^2 + 12^2 = 13^2\)，\(\angle A = 90^{\circ}\)。内切圆半径 \(r = \dfrac{5 + 12 - 13}{2} = 2\)。\(S_{\triangle AIB} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5\)。
坎：内心到三边等距 \(= r\)，把 \(\triangle AIB\) 看成以 \(AB\) 为底、\(r\) 为高的三角形。
15。设 \(BD = x\)，则 \(CD = 9 - x\)。在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABD\) 和 \(\mathrm{Rt}\triangle ACD\) 中，\(AD\) 为公共高。\(AD^2 = 17^2 - x^2 = 10^2 - (9 - x)^2\)。\(289 - x^2 = 100 - 81 + 18x - x^2\)。\(289 = 19 + 18x\)。\(x = 15\)。
坎：\(AD\) 是两直角三角形的公共边，用它建立方程——而不是分别求 \(AD\)。