小题出题思路 — 20260511

主题

20260511 圆中的计算与多解

难度

★★★★☆

出题思路

题型定位：本期对应小题轮换第4轮"圆中的计算与多解"，对标中考选择题#5~6（多结论判断）和填空题#17~18（多解）。

三题设计逻辑：

趋势契合度：

• ✅ 去套路化：第1题④不提示"先判断CD是否可能"，学生需自己算判别式发现无解——考查"用代数验证几何直觉"的习惯；第2题不提示"P有两个可能位置"；第3题不提示"方程有两个根"
• ✅ 中档题区分度：第2题的核心在"垂直平分线与圆的交点有两个"——很多学生只想到近侧交点就结束，漏掉远侧，区分度明显
• ✅ 多解思维训练：圆中多解问题是中考#17填空题的核心方向——圆上的动点、圆与直线的交点天然产生多解
• ✅ 跨知识综合：三题联动考查圆周角定理、射影定理、勾股定理、弦心距、垂径定理——一个知识点都不孤立
• ✅ 难度6:3:1：第1题入口低（①②③是课本定理的直接应用），第2题需要几何直觉+计算，第3题虽是二次方程但入口低

学生常见错误预判：

1. 第1题④：直接套射影定理列方程 \(x(10-x)=36\)，解出复数后不自检 \(CD\) 是否超出半径，错判④也对
2. 第2题：找垂直平分线与圆交点时只取近侧（\(2\sqrt{5}\)），漏远侧（\(4\sqrt{5}\)）；或错误地用 \(PA = \sqrt{OA^2 - AM^2}\)（把PA当弦心距）
3. 第3题：解二次方程后只取一个值；或对两个解的几何意义模糊（不知道它们关于中垂线对称）

题目

第1题

如图，\(AB\) 为 \(\odot O\) 的直径，\(C\) 为 \(\odot O\) 上异于 \(A\)、\(B\) 的一点，\(CD \perp AB\) 于点 \(D\)。

给出下列四个结论：

① \(\angle ACB = 90^\circ\)

② \(CD^2 = AD \cdot BD\)

③ \(AC \cdot BC = AB \cdot CD\)

④ 若 \(AB = 10\)，\(CD = 6\)，则 \(AD = 2\) 或 \(AD = 8\)

其中正确的有（ ）

A. \(1\) 个  B. \(2\) 个  C. \(3\) 个  D. \(4\) 个

图：直径 \(AB\) 所对圆周角 \(\angle ACB = 90^\circ\)，\(CD\) 为斜边 \(AB\) 上的高。

第2题

如图，\(\odot O\) 的半径为 \(5\)，弦 \(AB = 8\)。点 \(P\) 在 \(\odot O\) 上，且满足 \(PA = PB\)。则 \(PA\) 的长为 \_\_\_\_\_\_。

提示：结果可能不止一个，全部写出。

P₁

P₂

A

B

O

M

图：\(P\) 必须在 \(AB\) 的垂直平分线上（满足 \(PA=PB\)），同时又是圆上点——交点为 \(P_1\)、\(P_2\)，对应两种可能位置。

第3题

\(AB\) 为 \(\odot O\) 的直径，且 \(AB = 10\)。\(C\) 为 \(\odot O\) 上一点，\(CD \perp AB\) 于点 \(D\)。若 \(CD = 4\)，则 \(AD\) 的长为 \_\_\_\_\_\_。

提示：结果可能不止一个，全部写出。

答案与简析

第1题

答案：C（3个正确，①②③对，④错）

简析：

① ✓ — 直径所对的圆周角是直角（圆周角定理）。

② ✓ — 在 \(\text{Rt}\triangle ACB\) 中，\(CD\) 是斜边 \(AB\) 上的高。由射影定理：\(CD^2 = AD \cdot BD\)。

③ ✓ — 用面积法：\(\triangle ACB\) 的面积 \(= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD\)，两边消去 \(\frac{1}{2}\) 即得 \(AC \cdot BC = AB \cdot CD\)。

④ ✗ — 设 \(AD = x\)，则 \(BD = 10 - x\)。由射影定理 \(CD^2 = AD \cdot BD\)，得 \(36 = x(10 - x)\)，即 \(x^2 - 10x + 36 = 0\)。判别式 \(\Delta = 100 - 144 = -44 < 0\)，方程无实数解。也就是说，在直径 \(AB = 10\) 的圆中，\(CD\) 的最大值为半径 \(5\)（当 \(C\) 在最高点时），\(CD = 6\) 这个值根本不可能出现。

易错点：学生常直接套射影定理得到方程 \(x(10-x)=36\)，解出复数后不判断实际可能性，错误地认为④也对。

第2题

答案：\(2\sqrt{5}\) 或 \(4\sqrt{5}\)

简析：\(PA = PB\) 意味着 \(P\) 在弦 \(AB\) 的垂直平分线上。

取 \(AB\) 中点 \(M\)，连接 \(OM\)。在 \(\text{Rt}\triangle OMA\) 中：

\[ OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \]

\(P\) 既在垂直平分线上，又在圆上——即 \(P\) 为垂直平分线与圆的两个交点。

• 近侧 \(P_1\)（\(P\) 与 \(AB\) 在 \(O\) 同侧）：\(MP_1 = OP_1 - OM = 5 - 3 = 2\)

\[ P_1A = \sqrt{MP_1^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

• 远侧 \(P_2\)（\(P\) 与 \(AB\) 在 \(O\) 异侧）：\(MP_2 = OP_2 + OM = 5 + 3 = 8\)

\[ P_2A = \sqrt{MP_2^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

关键能力：将"PA=PB"翻译为"P在AB垂直平分线上"，然后在几何关系中找交点。两个解均合法，分别对应优弧和劣弧。

第3题

答案：\(2\) 或 \(8\)

简析：\(AB = 10\) 为直径，\(\angle ACB = 90^\circ\)（直径所对圆周角）。

在 \(\text{Rt}\triangle ACB\) 中，\(CD \perp AB\)。由射影定理：

\[ CD^2 = AD \cdot BD \]

设 \(AD = x\)，则 \(BD = AB - AD = 10 - x\)。

\[ 4^2 = x(10 - x) \]

\[ 16 = 10x - x^2 \]

\[ x^2 - 10x + 16 = 0 \]

\[ (x - 2)(x - 8) = 0 \]

\[ x = 2 \;\text{或}\; x = 8 \]

两个解分别对应 \(C\) 在直径 \(AB\) 的垂直平分线左侧（\(AD = 2\)）或右侧（\(AD = 8\)），均满足 \(CD = 4\) 的条件。

易错点：部分学生解二次方程后只取一个值（例如只取较小的 2），忽视了对称性带来的两个解。另外需注意：两个 \(C\) 的位置关于 \(AB\) 的垂直平分线对称，但可以都在上半圆（或都在下半圆）。