小题出题思路 — 20260510

20260510

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主题

20260510 动点与存在性

难度

★★★★☆

出题思路

题型定位：本期对应小题轮换第6轮"动点与存在性"，对标中考选择题#5~6（多结论判断）和填空题#17~18（存在性多解/新定义）。

三题设计逻辑：

题号	类型	核心能力	难度层次
第1题	多结论选择	分段函数建模、动态图形拆解	基础→中档（60%基础）
第2题	存在性填空	直角条件转化、代数方程	中档（30%中档）
第3题	存在性填空	等腰分类穷举、坐标法+代数验证	中档→拔高（10%拔高）

趋势契合度：

✅ 难度6:3:1：第1题入口极低（只需计算一个三角形面积），第3题需完整分类讨论
✅ 去套路化：第2题不提示"用勾股定理"——学生需自己识别∠APB=90°→勾股方程；第3题不提示"三种等腰情况"——学生需自己穷举
✅ 中档题区分度：第2题看似简单（直角→勾股），但很多学生只写一个解（忘了负半轴），体现"在细微处拉开差距"
✅ 坐标法建系：第3题引导学生用坐标法处理几何存在性问题——这是第24/25题的核心方法
✅ 实际计算含根号：第2题答案为\(\sqrt{6}\)，不是整数——训练学生接受"不漂亮"的答案，避免"算出根号就觉得错了"的心理

学生常见错误预判：

第1题③：以为 \(S\) 随 \(t\) 增大而一直增大，忽略 \(BC\) 段面积递减
第2题：只写正半轴的解，漏掉 \(-\sqrt{6}\)
第3题：在 \(AD=BD\) 情况下列方程后解不出来（二次项抵消是关键）；或把 \(AD=AB\) 情况的端点解 \(x=0,8\) 也当答案写上

题目

第1题

如图，在平面直角坐标系中，矩形 \(OABC\) 的顶点 \(O\) 为原点，\(A(6, 0)\)，\(C(0, 4)\)。动点 \(P\) 从点 \(O\) 出发，沿 \(O \to A \to B \to C \to O\) 的路径以每秒 \(1\) 个单位的速度匀速移动。设运动时间为 \(t\) 秒（\(0 \leqslant t \leqslant 20\)），\(\triangle OPC\) 的面积为 \(S\)。

给出下列四个结论：

① 当 \(0 < t < 6\) 时，\(S = 2t\)

② 当 \(6 < t < 10\) 时，\(S = 12\)

③ 当 \(10 < t < 16\) 时，\(S = 32 - 2t\)

④ 当 \(t = 3\) 和 \(t = 13\) 时，\(S\) 的值相等

其中正确的有（）

A. \(1\) 个 B. \(2\) 个 C. \(3\) 个 D. \(4\) 个

图：矩形 \(OABC\) 及动点 \(P\) 的运动路径。\(P\) 在 \(OA\)、\(AB\)、\(BC\) 三段上时，\(\triangle OPC\) 的面积表达式各不相同。

第2题

已知点 \(A(-2, 0)\)，\(B(3, 0)\)，点 \(P\) 在 \(y\) 轴上。若 \(\triangle ABP\) 为直角三角形且 \(\angle APB = 90^\circ\)，则点 \(P\) 的坐标为 \_\_\_\_\_\_。

提示：结果可能不止一个，全部写出。

第3题

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC = 5\)，\(BC = 8\)。点 \(D\) 在 \(BC\) 边上（不与 \(B\)、\(C\) 重合）。若 \(\triangle ABD\) 为等腰三角形，则 \(BD\) 的长为 \_\_\_\_\_\_。

D₁

D₂

图：等腰 \(\triangle ABC\) 中 \(AB=AC=5\)，\(BC=8\)。\(D\) 在 \(BC\) 边上，有两种情况使 \(\triangle ABD\) 为等腰三角形。

答案与简析

第1题

答案：D（4个全对）

简析：根据 \(P\) 所在位置分三段讨论。\(\triangle OPC\) 的底可看作 \(OC=4\)，高为 \(P\) 到 \(y\) 轴的水平距离（即 \(P\) 的横坐标 \(x_P\)）。

\(OA\) 段（\(0：\(P(t,0)\)，\(S = \frac{1}{2} \times 4 \times t = 2t\)。→ ① ✓

\(AB\) 段（\(6：\(P(6, t-6)\)，\(S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12\)。→ ② ✓

\(BC\) 段（\(10：\(P\) 从 \(B(6,4)\) 向 \(C(0,4)\) 移动，\(x_P = 16 - t\)，\(S = \frac{1}{2} \times 4 \times (16-t) = 32 - 2t\)。→ ③ ✓

验证④：\(t=3\) 时 \(S=2\times 3=6\)；\(t=13\) 时 \(S=32-2\times 13=6\)。相等。→ ④ ✓

易错点：学生可能误以为③中 \(S\) 在 \(BC\) 段仍与 \(t\) 正相关（实际是递减），导致错判。

第2题

答案：\((0, \sqrt{6})\) 或 \((0, -\sqrt{6})\)

简析：设 \(P(0, t)\)。

\(\angle APB = 90^\circ\) 等价于 \(AP^2 + BP^2 = AB^2\)（勾股定理逆定理在直角三角形中的等价形式）。

\[ AP^2 = (0+2)^2 + t^2 = t^2 + 4 \]

\[ BP^2 = (0-3)^2 + t^2 = t^2 + 9 \]

\[ AB = 5,\quad AB^2 = 25 \]

\[ (t^2+4) + (t^2+9) = 25 \;\Rightarrow\; 2t^2 = 12 \;\Rightarrow\; t^2 = 6 \;\Rightarrow\; t = \pm\sqrt{6} \]

两个解均满足条件（\(P\) 在 \(y\) 轴正半轴或负半轴均可构成直角三角形）。

关键能力：将"直角"条件转化为勾股方程，而非依赖三角比或斜率乘积。

第3题

答案：\(5\) 或 \(\dfrac{25}{8}\)

简析：以 \(BC\) 为 \(x\) 轴，\(B\) 为原点建系：\(B(0,0)\)，\(C(8,0)\)。

等腰 \(\triangle ABC\) 中 \(AB=AC=5\)，底边 \(BC=8\)，高 \(h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)，故 \(A(4, 3)\)。

设 \(D(x, 0)\)，\(0 < x < 8\)。\(\triangle ABD\) 为等腰三角形，分三种情况：

\(AB = BD\)：\(BD = x = 5\)。→ \(x = 5\) ✓（在区间内）

\(AD = BD\)：

\[ AD^2 = (4-x)^2 + 9,\quad BD^2 = x^2 \]

\[ (4-x)^2 + 9 = x^2 \;\Rightarrow\; 16 - 8x + x^2 + 9 = x^2 \;\Rightarrow\; 25 = 8x \;\Rightarrow\; x = \frac{25}{8} = 3.125 \]

✓（在区间内）

\(AD = AB\)：\((4-x)^2 + 9 = 25 \Rightarrow (4-x)^2 = 16 \Rightarrow 4-x = \pm 4 \Rightarrow x = 0\) 或 \(x = 8\)。均为端点，舍去。

综上，\(BD = 5\) 或 \(BD = \dfrac{25}{8}\)。

易错点：(1) 漏掉 \(AD=BD\) 的情况——学生常只考虑"腰与底边"的对应，忘了"底边也可以是等腰三角形的腰"；(2) \(AD=AB\) 情况得出 \(x=0,8\) 后不检查端点。