三角形的裁剪与拼接——这是上海中考"综合与实践"板块的经典题型。从一张三角形纸片出发，沿某条线剪开，重新拼成平行四边形或菱形。本期直接选用题源库 #2701，保留"操作→证明→构造"的递进链。亮点在第(3)问：不直接告诉学生剪哪条线，而是让学生自己用尺规作图找出来——从"会证"到"会造"。 训练主线：拼图操作规则 → 不等式证明 → 尺规作图构造。
| 能力 | 出现位置 |
|---|---|
| 中位线定理 | 第(1)问 |
| 三角形不等式/中位线性质 | 第(2)问 |
| 菱形的判定与性质 | 第(3)问 |
| 尺规作图 | 第(3)问 |
有一张三角形纸片，如图1。沿一条线进行裁剪，使裁剪的两部分拼成（不重叠无缝隙）一个平行四边形。说一说你是怎样裁剪和拼的。
如图2，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$、$E$ 分别在 $AB$、$AC$ 上（$D$ 不是 $AB$ 的中点），$AD = EC$。如果将其裁剪进行拼接，也可以得到一个平行四边形的四个顶点。请进行证明：$\dfrac{1}{2}BC < DE$。
在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle A < 60^\circ$，$D$、$E$ 分别是边 $AB$、边 $BC$ 的中点，连接 $DE$。小明发现这张纸片沿着 $DE$ 和 $CD$ 剪开后即可拼成一个菱形。请你再另外寻找一条线段，沿着这条线段和线段 $DE$ 剪开后，可以拼成（不重叠无缝隙）一个菱形。用尺规作图作出这条线段，说明做法，并简要画出拼接后的图形（非尺规作图）。
| 已知 | 来源 | 隐含的第二重身份 |
|---|---|---|
| 三角形纸片（任意） | 第(1)问 | 无特殊形状要求 |
| AB=AC, D在AB上, E在AC上, AD=EC | 第(2)问 | D和E到各自所在边的"远端"(B和C)距离相等：BD=AE |
| Rt△ABC, ∠C=90°, ∠A<60° | 第(3)问 | 特殊直角三角形的限制条件 |
| D是AB中点, E是BC中点 | 第(3)问 | DE是中位线, DE∥AC, DE=½AC |
| 沿DE和CD剪开→菱形 | 第(3)问 | CD是斜边中线, CD=½AB |
审题钩子：第(2)问AD=EC翻译为BD=AE（因为AB=AC=AB，AD=EC⇒BD=AB−AD=AC−EC=AE）。第(3)问∠A<60°的意图：保证拼成的菱形在三角形内部不超界。
拼图题三步走：
△ABC中，D是AB中点，E是AC中点。求证：DE∥BC且DE=½BC。
简答：中位线定理——连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。
Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB中点。求证：CD=AD=BD=½AB。
简答：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：ABCD是菱形。
简答：四边等⇒菱形（菱形定义之一）。
将△ABC沿中位线DE剪开，得到的△ADE绕E旋转180°。拼成的四边形是什么形状？
简答：平行四边形。因为DE∥BC且旋转后AD与BC重合，构成平行四边形BCFD。
沿三角形的中位线（连接AB、AC中点的线段）剪开。
如图，设D为AB中点，E为AC中点。沿DE剪开，得到△ADE和梯形DBCE。将△ADE绕点E旋转180°，使点A与点C重合，点D落在BC延长线上的点F处（BF=BC/2）。此时△ADE与梯形DBCE拼合成平行四边形BCFD。
本质：中位线DE∥BC且DE=½BC，保证了旋转后AD与CF平行且相等，形成平行四边形。
由AB = AC，AD = EC ⇒ BD = AB−AD = AC−EC = AE。
坐标法证明：
取BC中点O为原点，BC所在直线为x轴。设B\((-c, 0)\)，C\((c, 0)\)，则BC = 2c。
A在BC的中垂线上，设A\((0, h)\)，h > 0。AB = AC = \(\sqrt{c^2 + h^2} = a\)。
D在AB上，AD = x：D = A + \(\dfrac{x}{a}\)(B−A) = \(\left(-\dfrac{cx}{a},\; h - \dfrac{hx}{a}\right)\)。
E在AC上，AE = AC−EC = a−x：
E = A + \(\dfrac{a-x}{a}\)(C−A) = \(\left(\dfrac{c(a-x)}{a},\; h - \dfrac{h(a-x)}{a}\right)\)。
计算DE²：
\[ \begin{aligned} DE^2 &= \left(\frac{c(a-x)}{a} - \left(-\frac{cx}{a}\right)\right)^2 + \left(h - \frac{h(a-x)}{a} - \left(h - \frac{hx}{a}\right)\right)^2 \ &= \left(\frac{c(a-x) + cx}{a}\right)^2 + \left(-\frac{h(a-x)}{a} + \frac{hx}{a}\right)^2 \ &= \left(\frac{ca}{a}\right)^2 + \left(\frac{h(2x-a)}{a}\right)^2 \ &= c^2 + \frac{h^2(2x-a)^2}{a^2} \end{aligned} \]
又 \(c^2 = \left(\dfrac{BC}{2}\right)^2\)，故：
\[ DE^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + \frac{h^2(2x-a)^2}{a^2} \]
第二项 \(\dfrac{h^2(2x-a)^2}{a^2} \geq 0\)，且仅当 \(2x-a = 0\)（即 \(x = \dfrac{a}{2}\)，D为AB中点）时为零。
题目条件"\(D\) 不是 \(AB\) 的中点"⇒ \(x \neq \dfrac{a}{2}\) ⇒ 第二项严格大于零。
\[ \therefore\; DE^2 > \left(\frac{BC}{2}\right)^2 \;\Rightarrow\; \boxed{DE > \frac{1}{2}BC} \]
这个证明的优雅之处：DE²天然等于(BC/2)²加上一个非负项，不等式一步得出。证明中还揭示了等号成立的条件（D为AB中点）。
已知沿DE和CD剪开可拼成菱形。
寻找替代线段：取AC的中点G，连接DG。
验证：D是AB中点，G是AC中点 ⇒ DG是△ABC的中位线（连接AB中点和AC中点）。
\[ DG \parallel BC,\quad DG = \frac{1}{2}BC \]
又DE是连接AB中点和BC中点的中位线：
\[ DE \parallel AC,\quad DE = \frac{1}{2}AC \]
沿DE和DG剪开后，得到△BDG、△DEG、△CEG三块。将△BDG绕G旋转，△CEG绕E旋转，可拼成菱形（实际上DE和DG分别是两中位线，剪开后的四块可通过绕中点旋转重新组合）。
尺规作图步骤：
拼接后图形：拼接后得到一个以DE和DG为邻边的菱形（因DE = ½AC，DG = ½BC，在∠C=90°且∠A<60°的条件下，菱形位于三角形内部不超界）。
核心：CD和DG在本问题中是对称的——CD是斜边AB上的中线，DG是直角边AC上的中位线。两者都与DE配合产生菱形，但DG的构造更简单（只需作AC中点，不需作AB中点）。
| 易错点 | 错在哪一步 | 为什么会错 |
|---|---|---|
| 第(1)问只说"沿中位线"不说旋转方式 | 描述不完整 | 只说了"剪哪里"，没说"怎么拼"。拼图题的操作步骤必须可执行 |
| AD=EC翻译成BD=CE | 第(2)问 | EC是从E到C的距离，BD=AB−AD=AC−EC=AE（不是CE！注意E和C的顺序） |
| 第(3)问只找一条线忘了验证能拼成菱形 | 第(3)问 | 找到候选线段后必须验证：剪开后各部分能否拼成四边相等的菱形 |
| 能力维度 | 具体体现 |
|---|---|
| 操作→数学描述 | 将"剪、转、拼"翻译为平行四边形判定条件 |
| 不等式证明 | 三角形不等式+中位线性质的结合 |
| 尺规作图 | 第(3)问考查基本作图（作中点/垂线） |
变式1：将第(1)问的三角形改为直角三角形。中位线法仍然适用吗？拼出的是什么形状？
变式2：第(2)问中，若D恰好是AB的中点，½BC与DE的关系是什么？（此时AD=EC=½AB，DE=½BC，等号成立。）
变式3：第(3)问中，如果∠A≥60°，沿DE和CD剪开后还能拼成菱形吗？为什么题目要求∠A<60°？
| 小题 | 分值 | 得分要点 |
|---|---|---|
| (1) | 3分 | 正确说的是沿中位线剪（1分）；描述旋转拼合方式（1分）；指出拼成平行四边形（1分） |
| (2) | 4分 | 由AD=EC推出BD=AE（1分）；正确构造辅助线（1分）；推导½BC |
| (3) | 5分 | 找出正确线段（2分）；尺规作图规范（1分）；验证沿此线+DE剪开可拼菱形（2分） |
这道题是上海中考"综合与实践"板块的典型代表——不是纯数学推导，而是把数学操作（裁剪、拼接）作为问题载体。(1)问是开放性操作，(2)问是几何证明，(3)问是构造性探究。三层从"会做"到"会证"再到"会造"，递进关系清晰。
第(3)问的难度在"找"而不在"证"——CD可以，那别的线呢？学生需要从"CD是斜边中线"这个事实出发，类比出"取另一边的中点、连接对应点"的思路。这是典型的"结构迁移"——从已知方案推导出未知方案的规律。
(2)问坐标法 vs 几何法：坐标法（以BC中点或B为原点）可以直接算DE的长度表达式，然后与½BC比较——机械化但代数运算略重。几何法（构造平行四边形或中位线）更优雅但需要辅助线灵感。
"拼图恐惧"是这类题最常见的卡点。学生习惯了"已知→求证"的标准模式，遇到"剪一刀→拼成平行四边形"这种操作型问题，大脑一片空白。根源是缺乏"等积变换"的训练——不知道旋转和平移能保持面积和线段长不变。其实拼图的本质就是全等变换：剪开后的每一块通过旋转/平移移到新位置，形状大小完全不变。
表面考：中位线、菱形判定、尺规作图。
深层考：把物理操作（剪、移、拼）翻译为数学变换（旋转180°、平移），再用变换后的图形性质证明目标结论。这是几何中最基础也最容易被忽略的能力——"动手做几何"。