上海中考数学压轴题专项练习

已知	来源	隐含的第二重身份
OD=3, AD/OD=4/3, AD⊥y轴	题目	\( \lvert y_A\rvert =3,\; \lvert x_A\rvert =4 \)
A在第二/四象限，k<0	题目	A、B分居Q2和Q4
B(c,−2)	题目	B的纵坐标已知，横坐标c待求
A、B在双曲线上	隐含	k = x_A·y_A = c·(−2)

审题钩子：OD和AD给的是距离（绝对值），不是坐标。A的象限判定（Q2还是Q4）必须结合"B(c,−2)在交点中且k<0"来确定——如果A在Q4，则A、B同在Q4，违反"交于第二、四象限内"。

三个节奏：

1. 从距离到坐标：OD=|y_A|=3, AD=|x_A|=4。A的第二/四象限选择需要用k<0且B(c,−2)来验证。
2. 从坐标到函数：A和B都在双曲线上→k = x_A·y_A。A和B都在一次函数上→待定系数。
3. 从函数到不等式：ax+b < k/x ⇔ 一次函数图象在双曲线下方。第(3)问是"新定义套用"——把已知结论x²−m>0的解集迁移到直线与双曲线交点个数判断上。

第1道 · 距离转坐标

点P到y轴的距离为4，到x轴的距离为3，且P在第二象限。求P的坐标。

简答：|x_P|=4, |y_P|=3。第二象限→x<0, y>0。P(−4, 3)。

第2道 · 双曲线求k

反比例函数 y=k/x 经过点 (−4, 3)。求k。

简答：k = (−4)·3 = −12。y = −12/x。

第3道 · 待定系数法

一次函数图象过 (−4, 3) 和 (6, −2)，求解析式。

简答：k = (−2−3)/(6+4) = −0.5。y+2 = −0.5(x−6) → y = −0.5x+1。

第4道 · 图象比大小

一次函数 y=−0.5x+1 和反比例函数 y=−12/x 的图象如图所示。直接写出 −0.5x+1 < −12/x 的解集。

简答：一次函数在双曲线下方 ⇔ −4 < x < 0 或 x > 6。

第一层 · 定A点

• OD=3 ⇒ |y_A|=3。AD/OD=4/3 ⇒ AD=4 ⇒ |x_A|=4。
• A可能在(−4,3)或(4,−3)。k=x_A·y_A必须<0（题目给k<0），两者都满足k=−12<0。
• B(c,−2)的纵坐标为负→B在Q4。A与B分居Q2和Q4→A在Q2→A(−4,3)。

第二层 · 求表达式

• k = x_A·y_A = −12。反比例：y=−12/x。
• B在双曲线上：−2=−12/c → c=6。B(6,−2)。
• A,B代入一次函数求a,b。

第三层 · (3)问的套路

• y=x+n与y=−12/x联立→x²+nx+12=0。有两个交点⇔判别式>0。
• y₁
• 用题目给的"x²−m>0解集"结论类比：判别式>0给出|n|>4√3；y₂−8。

(1) 求表达式

OD=3, AD:OD=4:3 ⇒ AD=4。

A在双曲线上：k = x_A·y_A。|x_A|=AD=4, |y_A|=OD=3。

B(c,−2)的纵坐标为负⇒B在第四象限。A、B分居Q2和Q4，故A在第二象限：A(−4, 3)。

k = (−4)·3 = −12。反比例函数：\(y = -\dfrac{12}{x}\)。

B在双曲线上：\(-2 = -\dfrac{12}{c}\) ⇒ c = 6。B(6, −2)。

一次函数过A、B：\(a = \dfrac{-2-3}{6-(-4)} = -\dfrac{1}{2}\)。

\(y - 3 = -\dfrac{1}{2}(x + 4)\) ⇒ \(y = -\dfrac{1}{2}x + 1\)。

\[ \boxed{y = -\frac{12}{x},\quad y = -\frac{1}{2}x + 1} \]

(2) 图象法解不等式

\(ax + b < \dfrac{k}{x}\) ⇔ 一次函数图象在双曲线下方。

由图象（参考图）：一次函数在双曲线下方对应的x区间为：

\[ \boxed{-4 < x < 0\;\text{或}\;x > 6} \]

注意：x=0不在定义域内（双曲线分母不为0）。x=−4和x=6处两函数相等，不取等号。

(3) 求n的取值范围

直线 \(y=x+n\) 与双曲线 \(y=-\dfrac{12}{x}\) 联立：

\[ x + n = -\frac{12}{x}\;\Rightarrow\;x^2 + nx + 12 = 0 \]

有两个不等实根（即两个交点P、Q）⇔ \(\Delta = n^2 - 48 > 0\)。

由题目给出的结论（\(x^2-m>0\)的解集为\(x>\sqrt{m}\)或\(x<-\sqrt{m}\)）：

\[ n^2 > 48 \;\Rightarrow\; n > 4\sqrt{3}\;\text{或}\;n < -4\sqrt{3} \]

设方程两根为\(x_1 < x_2\)。R为直线与MN(x=6)的交点：\(R(6,\;6+n)\)，\(y_3 = 6+n\)。

条件 \(y_1 < y_2 < y_3\)：

• \(y_1 < y_2\)：因 \(y_i = x_i + n\) 且 \(x_1 < x_2\)，恒成立。
• \(y_2 < y_3\)：\(x_2 + n < 6 + n \Rightarrow x_2 < 6\)。

\(x_2 = \dfrac{-n + \sqrt{n^2-48}}{2} < 6\)。由前提 \(-n+\sqrt{n^2-48} < 12\)。

当 \(n > 4\sqrt{3} > 0\) 时，\(-n+\sqrt{n^2-48} < 0 < 12\) 恒成立。

当 \(n < -4\sqrt{3}\) 时（\(n < 0\)）：\(\sqrt{n^2-48} < 12 + n\)。

平方（注意 \(12+n>0 \Rightarrow n>-12\)）：\(n^2-48 < n^2 + 24n + 144 \Rightarrow 24n > -192 \Rightarrow n > -8\)。

结合 \(n < -4\sqrt{3} \approx -6.93\) 和 \(n > -8\)：\(-8 < n < -4\sqrt{3}\)。

\[ \boxed{n \in (-8,\; -4\sqrt{3}) \;\cup\; (4\sqrt{3},\; +\infty)} \]

易错点	错在哪一步	为什么会错
A取(4,−3)	第(1)问	只验证了k<0（(−4)×3=(4)×(−3)=−12），没验证"交于第二、四象限内"意味着A,B分居不同象限
(2)问用代数法解分式不等式	第(2)问	题目明确说"根据图象直接写出"——代数法分x>0/x<0讨论，不仅繁琐还容易漏解
忘写x≠0	第(2)问	双曲线在x=0无定义，区间必须避开
(3)问不知道新定义怎么用	第(3)问	题目给x²−m>0的解集是用"或"连接——类比n²−48>0的解也是"n>…或n<…"。新定义题的关键是"看出来类比关系"

能力维度	具体体现
距离→坐标翻译	绝对值+象限→确定点坐标
交点→待定系数	两点在双曲线上→k；两点在直线上→a,b
图象判不等式	直接看谁在上谁在下
新定义迁移	已知结论→类比应用到新场景

变式1：若 \(k>0\)（双曲线在一、三象限），其余条件不变。A的坐标会变吗？一次函数的表达式呢？

变式2：将(3)中的直线改为 \(y=-x+n\)，重做第(3)问。

变式3：若 \(y_1 > y_3 > y_2\)，求n的取值范围。

1. OD和AD给的是距离，转化为坐标时符号由什么决定？
2. 第(3)问中，题目给的结论"x²−m>0 ⇔ x>√m或x<−√m"起到了什么作用？如果题目不给这个结论，(3)问还能做吗？
3. 为什么−84√3是两个不连通的区间？图象上对应什么情况？

命题设计逻辑

本题是直接从题源库 #2411 选用，未做骨架修改。五层递进锁：垂足定A→交点定k→待定系数定直线→图象判不等式→新定义探参数。每层解锁后，下一层自动打开。

第(3)问的设计尤为精妙：不给常规的"求n的范围"，而是先给一个已知结论（x²−m>0的解集）当跳板，让学生"现学现用到"判别式不等式上。这种"给工具→用工具"的设计是上海中考第18/24题近年趋势——测试的不是知识储备，是现场学习能力。

解法纵横

(2)问：图象法（推荐）—看一眼图象直接写区间，10秒完成。代数法—分x>0和x<0讨论分式不等式，容易在符号上出错。

(3)问：判别式+不等式约束法是正解。另一种思路：直接用韦达定理x₁+x₂=−n, x₁x₂=12，结合y₁

思维误区深度剖析

"新定义恐惧"是(3)问最常见的卡点。学生看到一段不熟悉的文字（"形如x²−m>0的解集为…"）就自动跳过，不知道这恰恰是题目给的免费工具。认知根源：学生习惯了"题目给条件=用来算"，没建立"题目给结论=用来套"的第二条反射弧。

数学本质

表面考：反比例+一次函数的交点、图象不等式、参数范围。

深层考：从"距离+象限→坐标"的翻译能力，从"已知结论→类比应用"的迁移能力。

与中考趋势呼应：第(3)问的新定义包装就是2027届中考"去套路化"的典型体现。

• 来源：题源库 #2411（直接选用，未做骨架修改）
• 10维自检：总评 88/100。