矩形的中点连线天然构成菱形——这是八年级四边形中最优雅的结构之一。本期取题源库 1924（矩形中点→形状判定）的条件模板，注入材料库 L2 面积转化链，再挂上一个动点，让面积从"定值计算"升级为"函数表达"。三问递进：形状判定（几何直觉）→面积函数（代数化）→特殊值求解（方程收束）。 训练主线：中点坐标化 → 菱形判定 → 动点参数化 → 面积函数 → 解方程回验。
| 能力 | 出现位置 |
|---|---|
| 中点坐标公式 | 第(1)问 |
| 菱形判定（四边等+对角线垂直） | 第(1)问 |
| 动点坐标用参数 x 表达 | 第(2)问 |
| 坐标系中三角形面积 | 第(2)问 |
| 定义域由线段长度限制 | 第(2)问 |
| 解一元一次方程回验 | 第(3)问 |
如图，在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB = 6\)，\(BC = 8\)。点 \(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\) 分别是边 \(AB\)、\(BC\)、\(CD\)、\(DA\) 的中点。
(1) 求证：四边形 \(EFGH\) 是菱形，并求它的面积。
(2) 连接 \(EG\) 和 \(FH\)，设交点为 \(O\)。点 \(P\) 从点 \(E\) 出发，沿 \(EO\) 向点 \(O\) 运动，速度为每秒 1 个单位。设 \(EP = x\)，连接 \(PH\)。求 \(\triangle POH\) 的面积 \(y\) 关于 \(x\) 的函数解析式，并写出 \(x\) 的取值范围。
(3) 在 (2) 的条件下，当 \(y = \dfrac{1}{8}S_{EFGH}\) 时，求 \(x\) 的值。
| 已知 | 来源 | 隐含的第二重身份 |
|---|---|---|
| AB=6, BC=8 | 题目 | AB为竖边，BC为横边 |
| E,F,G,H 为各边中点 | 题目 | 坐标可直接写：E(0,3), F(4,0), G(8,3), H(4,6) |
| P: E→O, v=1, EP=x | 题目 | P(x, 3)，且 0 ≤ x ≤ 4 |
| EG, FH 为菱形对角线 | 第(1)问结论 | EG ⟂ FH 且互相平分 |
审题钩子：矩形放在坐标系中，B 为原点，BA 为 y 轴，BC 为 x 轴——四个中点的坐标瞬间全出。菱形的判定不需要证四条边等（勾股数 3-4-5 自然给），只需验证对角线垂直。
已知 M(2, 5)、N(8, 1)，则线段 MN 的中点坐标为______。
简答：((2+8)/2, (5+1)/2) = (5, 3)。
四边形 ABCD 中，对角线 AC ⟂ BD 且互相平分。求证：ABCD 是菱形。
简答：对角线互相平分 ⇒ ▱；对角线垂直 ⇒ 菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。
△ABC 中，底边 BC 在直线 y=0 上，长度 8。点 P 在直线 y=3 上，横坐标为 x。求 △PBC 的面积关于 x 的表达式。
简答：底 BC=8，高 = |3−0| = 3。S = (1/2)×8×3 = 12（与 x 无关！面积恒定）。
线段 AB 上，A(1, 4), B(5, 4)。点 P 从 A 向 B 运动，速度 1/s。设 AP = t，求 t 的取值范围。
简答：0 ≤ t ≤ AB = 4。
以 B 为原点，BA 为 y 轴，BC 为 x 轴建系：
\[ B(0,0),\; A(0,6),\; C(8,0),\; D(8,6) \]
各边中点：
\[ E(0,3),\; F(4,0),\; G(8,3),\; H(4,6) \]
对角线 \(EG\)：\(E(0,3) \to G(8,3)\)，水平线段，长 8。
对角线 \(FH\)：\(F(4,0) \to H(4,6)\)，竖直线段，长 6。
\(EG \perp FH\)（水平 ⟂ 竖直），且交点 \(O\) 为 \(EG\) 和 \(FH\) 的中点：\(O(4, 3)\)。
对角线互相垂直且平分 \(\Rightarrow\) 四边形 \(EFGH\) 是菱形。
\[ S_{EFGH} = \frac{1}{2} \times EG \times FH = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \]
\(O(4,3)\)，\(E(0,3)\)。\(EO = 4\)。
P 在 \(EO\) 上，\(EP = x\)（\(0 \leq x \leq 4\)）：
\[ P(x,\; 3) \]
\(\triangle POH\)：\(P(x,3),\; O(4,3),\; H(4,6)\)。
以 \(OH\) 为底：\(OH\) 在直线 \(x = 4\) 上，长度 \(= |6-3| = 3\)。
高 \(= P\) 到直线 \(x = 4\) 的水平距离 \(= 4 - x\)（因 \(x \leq 4\)）。
\[ y = S_{\triangle POH} = \frac{1}{2} \times 3 \times (4 - x) = \frac{3}{2}(4 - x) = 6 - \frac{3}{2}x \]
定义域：\(0 \leq x \leq 4\)。
回验：x=0 时 P=E，△POH=△EOH，底 OH=3，高=4，S=6 ✓。x=4 时 P=O，三角形退化为线段，S=0 ✓。
\[ y = \frac{1}{8}S_{EFGH} = \frac{1}{8} \times 24 = 3 \]
\[ 6 - \frac{3}{2}x = 3 \;\Rightarrow\; \frac{3}{2}x = 3 \;\Rightarrow\; x = 2 \]
\(x = 2\) 在 \([0, 4]\) 内 ✓。此时 P 为 EO 的中点。
| 易错点 | 错在哪一步 | 为什么会错 |
|---|---|---|
| 菱形判定只证了四边等 | 第(1)问 | 四边等可以直接证菱形，但这里证对角线垂直更简单。如果去算 EF 的长度（3-4-5 ⇒ EF=5），要算四次 |
| O 的坐标写成 (4,4) | 第(2)问 | F(4,0) 和 H(4,6) 中点确实是 (4,3)，不是 (4,4)。学生心算 (0+6)/2=3 容易错 |
| 高写成 x−4 | 第(2)问 | P 在 O 左边，x ≤ 4，所以高 = 4−x（正值）。写成 x−4 会得到负面积 |
| 没注明定义域 | 第(2)问 | P 只能从 E 运动到 O，x 的范围是 [0,4]，必须标注 |
| 第(3)问解出 x=2 就停 | 第(3)问 | 必须回验 x=2 是否在定义域 [0,4] 内，且此时 P 确实在线段 EO 上 |
| 能力维度 | 具体体现 |
|---|---|
| 中点→坐标 | 四个中点坐标从矩形顶点直接写出 |
| 坐标判断垂直 | EG 水平 (y 不变) + FH 竖直 (x 不变) ⇒ 垂直 |
| 动点参数化 | P(x, 3)，唯一的变量 x 控制位置 |
| 面积函数化 | y = (3/2)(4−x)，一次函数，定义域 [0,4] |
| 方程求解+回验 | x=2 既在定义域内，又在 EO 上 |
变式1 · 改变矩形比例
若 AB=8, BC=8（正方形），重做本题。四边形 EFGH 还是菱形吗？还是正方形？面积变化了多少？
变式2 · 动点反向
P 从 O 出发沿 OE 向 E 运动，速度仍为 1/s。设 OP=t'，求 △PEH 的面积关于 t' 的解析式。和本题的函数有何关系？
变式3 · 中点推广
将条件改为 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的点，且 AE:EB = BF:FC = CG:GD = DH:HA = 1:2。四边形 EFGH 还是菱形吗？请探究并给出理由。
| 小题 | 分值 | 得分要点 |
|---|---|---|
| (1) | 5分 | 正确建系得各中点坐标（1分）；证 EG⟂FH（1分）；证互相平分（1分）；得菱形结论（1分）；正确算面积 24（1分） |
| (2) | 5分 | 正确写出 P(x,3)（1分）；识别底 OH=3 和高=4−x（2分）；正确写 y=½·3·(4−x) 并化简（1分）；标注定义域 [0,4]（1分） |
| (3) | 2分 | 列方程并解 x=2（1分）；回验在定义域内（1分） |
条件模板来自题源库 1924（矩形中点→四边形判定），结构模板来自材料库 L2 面积转化链（面积比=底边比→转化为线段关系）。两者的交叉点是"中点坐标化后，面积天然与线段成线性关系"。
第(1)问是 1924 的影射——中线交点产生菱形，但本题用"对角线垂直+平分"的路径替代了"四边等"的路径，因为坐标系中 EG 水平、FH 竖直，垂直是"一眼看出"的。
第(2)问是材料库注入的——L5 动点链的 6 步模板被压缩为"设参数→建函数→标定义域→回验"四步，精准对应△POH 的底（固定）和高（4−x，线性）。
数字 AB=6, BC=8 的选择：生成 3-4-5 菱形（EF=5），EG=8, FH=6, S=24。x=2 时恰好让 S=3（24的1/8），且 P 是 EO 中点——这些"巧合"背后是乘法整除性：6÷2=3, 8÷2=4, 3 和 4 的乘积 12 衍生出 24 和 6 这些约数。
坐标法（如上）：建系→坐标→公式。机械化、低错误率，适合考试。代价是失去了"纯几何的美感"——学生可能看不出 EG⟂FH 是因为"对边中点连线平行于另一组对边"。
纯几何法：E,H 是 AB,AD 中点 ⇒ EH∥BD 且 EH=BD/2。同理 FG∥BD。所以 EH∥FG。同理 EF∥HG。EFGH 是▱。又因为矩形对角线相等（AC=BD），EH=EF=BD/2=5。四边等 ⇒ 菱形。这个方法不需要坐标，但推理链条长，容易在"为什么 EH=EF"上卡住。
"高找错"是坐标系面积题最高频的错误。学生看到 P(x,3), O(4,3), H(4,6) 三个点，会下意识以 PH 或 PO 为底，然后被斜边长度的根式困住。深层原因：学生习惯了几何题中"底在水平线上"的默认画法，坐标系中任意摆放的三角形需要主动判断"哪条边最方便做底"。训练方法是：先扫三个顶点的坐标，找哪两个点共线（x 或 y 相同）——那两条点共线的边就是天然的底。
表面考：中点坐标、菱形判定、动点面积函数。
深层考：在坐标系中把"中点→坐标""动点→参数""面积→函数"三条线索串成完整的代数几何互译链。核心能力是在当前坐标系中选择最优的底和高——这是一种坐标嗅觉，不能靠死记公式获得。
与中考趋势的呼应：去套路化——没有"面积用铅垂高"的提示，学生需要自己从三个点中挑出 O 和 H 共线（竖直线 x=4），从而避免一般距离公式的根式。