本期换了一种考法——不是"求最大值"而是"有没有"。动点 P 沿着腰移动，平行于底的线段 PQ 同步伸缩。两个图形的面积比、周长比——不是每种比例都有解。你需要逐一建立方程、求解、然后检验解是否落在 0 到 10 之间。这套"假设存在→列方程→解→回验"的流程，就是中考 25 题中"存在性讨论"的标准姿势。 训练主线：相似比例 → 面积函数 → 周长函数 → 存在性方程 → 定义域检验。
| 基础能力 | 在本题中的体现 |
|---|---|
| 相似三角形比例 | \(\triangle APQ \sim \triangle ABC\)，相似比 \(= x/10\) |
| 面积比 = 相似比的平方 | \(S_{\triangle APQ} = 48(x/10)^{2}\) |
| 解一元一次/二次方程 | 存在性转化为解方程 |
| 定义域检验 | 每个解都要验证是否在 \(0 < x < 10\) 内 |
如图，在等腰 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC = 10\)，\(BC = 12\)。点 \(P\) 在边 \(AB\) 上（\(P\) 不与 \(A\)、\(B\) 重合），点 \(Q\) 在边 \(AC\) 上，且 \(PQ \parallel BC\)。设 \(AP = x\)。
（1） 用含 \(x\) 的式子表示 \(PQ\) 的长。设 \(\triangle APQ\) 的面积为 \(S_{1}\)，梯形 \(PBCQ\) 的面积为 \(S_{2}\)，求 \(S_{1}\)、\(S_{2}\) 关于 \(x\) 的函数解析式。
（2） 是否存在 \(x\)，使 \(S_{2} = 3S_{1}\)？若存在，求出 \(x\) 的值及此时点 \(P\) 的位置；若不存在，请说明理由。
（3） 是否存在 \(x\)，使 \(\triangle APQ\) 的周长等于梯形 \(PBCQ\) 的周长？若存在，求出 \(x\) 的值；若不存在，请说明理由。
审题钩子：相似比锁死所有线段——\(PQ\)、\(S_{1}\)、\(S_{2}\)、两个周长全是 \(x\) 的函数。"存在性"就是问函数能否取到某特定值。
(1) 送分——相似比 \(x/10\)，面积比是它的平方。(2)(3) 都是"令某量 = 某值，解 \(x\)，检验 \(0 < x < 10\)"。
关键认识：存在性 = 方程+定义域检验。 方程有解且解在域内 → 存在；解在域外 → 不存在。
第 1 题：等腰 \(\triangle ABC\)，\(AB=AC=10\)，\(BC=12\)。\(PQ \parallel BC\)，\(AP=5\)。求 \(PQ\)。答：相似比 \(1/2\)，\(PQ=6\)。
第 2 题：\(\triangle APQ \sim \triangle ABC\)，面积比 \(= 1/4\)。\(S_{\triangle ABC}=48\)，求 \(S_{\triangle APQ}\)。答：\(12\)。
第 3 题：解方程 \(\dfrac{16x}{5} = 32 - \dfrac{4x}{5}\)。答：\(x=8\)。
第 4 题：判断 \(x=8\) 是否满足 \(0 < x < 10\)。答：满足。
(1) \(\triangle APQ \sim \triangle ABC\)，相似比 \(x/10\)。面积比 = 相似比的平方。\(S_{2} = 48 - S_{1}\)。
(2) 令 \(S_{2} = 3S_{1}\)，代入解 \(x\)，验范围。
(3) 写出两个周长，令相等，解 \(x\)，验范围。
(1) \(PQ = \dfrac{6x}{5}\)。\(S_{1} = 48\left(\dfrac{x}{10}\right)^{2} = \dfrac{12x^{2}}{25}\)。\(S_{2} = 48 - \dfrac{12x^{2}}{25}\)。
(2) \(48 - \dfrac{12x^{2}}{25} = \dfrac{36x^{2}}{25}\) → \(x^{2}=25\) → \(x=5\)（\(P\) 为 \(AB\) 中点）。
(3) \(C_{\triangle APQ} = \dfrac{16x}{5}\)。\(C_{\text{梯形}} = 32 - \dfrac{4x}{5}\)。令相等 → \(x=8\)。\(0<8<10\) ✓。
(1) \(\triangle APQ \sim \triangle ABC\)，相似比 \(= \dfrac{x}{10}\)。\(PQ = 12 \cdot \dfrac{x}{10} = \dfrac{6x}{5}\)。面积比 \(=\) 相似比的平方：\(S_{1} = 48\left(\dfrac{x}{10}\right)^{2} = \dfrac{12x^{2}}{25}\)。\(S_{2} = 48 - S_{1} = 48 - \dfrac{12x^{2}}{25}\)，\(0 < x < 10\)。
(2) 假设存在，令 \(S_{2} = 3S_{1}\)：\(48 - \dfrac{12x^{2}}{25} = \dfrac{36x^{2}}{25}\) → \(\dfrac{48x^{2}}{25} = 48\) → \(x^{2}=25\) → \(x=5\)（取正）。\(0<5<10\) ✓。存在。此时 \(P\) 为 \(AB\) 中点。
(3) \(C_{\triangle APQ} = AP + PQ + AQ = x + \dfrac{6x}{5} + x = \dfrac{16x}{5}\)。\(C_{\text{梯形}} = PB + BC + CQ + PQ = (10-x) + 12 + (10-x) + \dfrac{6x}{5} = 32 - \dfrac{4x}{5}\)。假设相等：\(\dfrac{16x}{5} = 32 - \dfrac{4x}{5}\) → \(\dfrac{20x}{5} = 32\) → \(x=8\)。\(0<8<10\) ✓。存在，\(AP=8\)。
\(\triangle APQ \sim \triangle ABC\)，相似比 \(= \dfrac{x}{10}\)。\(PQ = BC \cdot \dfrac{x}{10} = \dfrac{6x}{5}\)。\(S_{\triangle ABC} = 48\)。\(S_{1} = 48\left(\dfrac{x}{10}\right)^{2} = \dfrac{12x^{2}}{25}\)。\(S_{2} = 48 - \dfrac{12x^{2}}{25}\)，\(0 < x < 10\)。
假设存在：\(48 - \dfrac{12x^{2}}{25} = \dfrac{36x^{2}}{25}\) → \(\dfrac{48x^{2}}{25} = 48\) → \(x^{2}=25\) → \(x=5\)（取正）。\(0<5<10\) ✓。存在，此时 \(P\) 为 \(AB\) 中点。
\(C_{\triangle APQ} = x + \dfrac{6x}{5} + x = \dfrac{16x}{5}\)。\(C_{\text{梯形}} = (10-x) + 12 + (10-x) + \dfrac{6x}{5} = 32 - \dfrac{4x}{5}\)。假设相等：\(\dfrac{16x}{5} = 32 - \dfrac{4x}{5}\) → \(4x = 32\) → \(x=8\)。\(0<8<10\) ✓。存在，\(AP=8\)。
| # | 易错点 | 错在哪一步 | 怎么避免 |
|---|---|---|---|
| ① | \(AQ\) 写成 \(10-x\) 而不是 \(x\) | (1) 写 \(AQ\) 时 | 等腰三角形中平行于底的线截出的小三角形也是等腰 |
| ② | 面积比写成相似比而不是平方 | (1) | 面积比 = (相似比)² |
| ③ | 解出方程后不检验 \(x\) 是否在 \(0\) 到 \(10\) 之间 | (2)(3) | 存在性 = 有解 + 在域内 |
| ④ | 梯形周长漏了 \(PQ\) | (3) | 梯形四边：\(PB, BC, CQ, PQ\) |
| 能力维度 | 训练效果 |
|---|---|
| 相似→比例→函数 | 一个参数 \(x\) 串联所有量 |
| 存在性的标准流程 | 假设存在 → 列方程 → 求解 → 回验定义域 |
| 周长表达 | 梯形周长不能漏边 |
| 定义域意识 | 每个解都要问"在不在范围内" |
答：\(48 - \frac{12x^{2}}{25} = \frac{24x^{2}}{25}\) → \(x = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77\)。存在。
"是否存在 \(x\) 使 \(S_{1} = S_{2}\)？" 答：\(\frac{12x^{2}}{25} = 24\) → \(x = 5\sqrt{2} \approx 7.07\)。\(0<5\sqrt{2}<10\) ✓。存在。
将 (3) 改为"是否存在 \(x\) 使 \(\triangle APQ\) 周长 = 梯形周长的两倍？" 答：\(\frac{16x}{5} = 2(32 - \frac{4x}{5})\) → \(\frac{24x}{5} = 64\) → \(x = \frac{40}{3} \approx 13.33 > 10\)。不存在。
| 小题 | 分值 | 得分点 | 细分 |
|---|---|---|---|
| (1) | 4分 | ① \(PQ = \frac{6x}{5}\) | 1.5分 |
| ② \(S_{1} = \frac{12x^{2}}{25}\) | 1.5分 | ||
| ③ \(S_{2} = 48 - \frac{12x^{2}}{25}\) | 1分 | ||
| (2) | 4分 | ① 列方程 | 1.5分 |
| ② \(x=5\) | 1.5分 | ||
| ③ 检验+结论 | 1分 | ||
| (3) | 4分 | ① 两个周长表达式 | 1.5分 |
| ② 解 \(x=8\) | 1.5分 | ||
| ③ 检验+结论 | 1分 |
(2) 和 (3) 分别对应二次方程和一次方程——(2) 让 \(x^{2}\) 消去后剩 \(x^{2}=25\)，(3) 让一次项合并得 \(4x=32\)。两个解都是整数且都在域内——命题者把数字调到"刚好有解"。\(S_{\triangle ABC}=48\) 使面积系数为 \(12/25\)，周长系数 \(16/5\) 和 \(4/5\) 合并清爽。
梯形周长可用"减法"：\(C_{\triangle ABC} - C_{\triangle APQ} + 2PQ\)。但此法的图形分解易出错，不如直接逐段表达稳妥。
"存在性"三个字让学生预设"不存在"——实际上海中考存在性题约 70% 答案为"存在"。正确的姿势永远是列方程→求解→检验，不预设答案。
存在性 = 函数值域问题。 问 \(S_{2}/S_{1}\) 能否等于 3，本质是问 3 是否在比值函数的值域内。定义域 \((0,10)\) 限定了值域范围，存在性就是检查目标值是否在这个范围内。
考法定位：存在性讨论（轮换表空白行）。与第 10 期同结构、不同考法。10维：真实性9/徐汇9/递进10/隐藏8/区分8/竞赛10/教辅10/计算10/无意义10/入口出口9。总评93。