一条斜线下藏着三个几何动作。先把动点坐标化，矩形面积变成二次函数——配方法直接给出最值。然后把三角形沿一条线翻折——翻折的关键永远是"折痕是中垂线"，由此锁定 P 的位置。全程只用八年级工具：一次函数、配方法、翻折性质、两点距离公式。 训练主线：坐标化 → 面积函数 → 配方法最值 → 翻折对称性。
| 基础能力 | 在本题中的体现 |
|---|---|
| 一次函数图像与解析式 | \(AB: y = -\frac{3}{4}x + 6\) |
| 二次函数配方法 | \(S(t) = 12 - \frac{3}{4}(t-4)^2\) |
| 翻折（轴对称）的性质 | 折痕 \(OP\) 是 \(AA'\) 的垂直平分线 |
| 两直线交点 | \(OP\)（\(y=x\)）与 \(AB\) 的交点即 \(P\) |
如图，在平面直角坐标系中，\(A(0, 6)\)，\(B(8, 0)\)。点 \(P\) 在线段 \(AB\) 上（不与端点重合），设 \(P\) 的横坐标为 \(t\)。过点 \(P\) 作 \(PQ \perp x\) 轴于 \(Q\)，作 \(PR \perp y\) 轴于 \(R\)。
（1） 求矩形 \(OQPR\) 的面积 \(S\) 关于 \(t\) 的函数解析式。
（2） 求 \(S\) 的最大值，及此时点 \(P\) 的坐标。
（3） 连接 \(OP\)。将 \(\triangle AOP\) 沿 \(OP\) 翻折，点 \(A\) 的对应点为 \(A'\)。若 \(A'\) 恰好落在 \(x\) 轴上，求点 \(P\) 的坐标。
审题钩子：矩形 \(OQPR\) 的两边恰为 \(P\) 的横纵坐标——面积直接写成 \(t\) 的函数。翻折中 \(OP\) 是 \(AA'\) 的中垂线——\(A'\) 在 \(x\) 轴上给出 \(OA' = OA = 6\)。
(1) 问是标准的"动点 → 坐标 → 面积函数"。关键是 \(P\) 的纵坐标用一次函数表达，矩形面积 = 横坐标 × 纵坐标 = 二次函数。
(2) 问配方法求最值——\(S(t)\) 开口向下，顶点即最大值，恰好 \(t = 4\) 时 \(P\) 为 \(AB\) 中点。
(3) 问翻折的核心：\(OP\) 是 \(AA'\) 的中垂线。\(A'\) 在 \(x\) 轴上，且 \(OA' = OA = 6\) → \(A'(6, 0)\) 或 \((-6, 0)\)。\(AA'\) 中点在 \(OP\) 上 → \(OP\) 过 \(O\) 和 \(AA'\) 中点 → \(OP\) 方程确定 → \(P\) 为 \(OP\) 与 \(AB\) 交点。
第 1 题：直线过 \(A(0,6), B(8,0)\)，求解析式。答：\(y = -\frac{3}{4}x + 6\)。
第 2 题：\(S = -\frac{3}{4}t^2 + 6t\)，配方求最大值。答：\(S = -\frac{3}{4}(t-4)^2 + 12\)，最大 \(12\)（\(t=4\)）。
第 3 题：点 \(A(0,6)\) 关于直线 \(y=x\) 的对称点坐标。答：\((6,0)\)。
第 4 题：直线 \(y=x\) 与 \(y=-\frac{3}{4}x+6\) 的交点。答：\((\frac{24}{7}, \frac{24}{7})\)。
(1) \(P(t, 6-\frac{3}{4}t)\)。矩形边长即 \(t\) 和 \(6-\frac{3}{4}t\)。面积 = 长 × 宽。
(2) 配方法处理 \(S = 6t - \frac{3}{4}t^2\)。开口向下，顶点最大。
(3) 翻折 → \(OA' = OA = 6\)。\(A'\) 在 \(x\) 轴上 → \(A'(6,0)\) 或 \((-6,0)\)。\(OP\) 是 \(AA'\) 中垂线。
(1) \(S = t(6-\frac{3}{4}t) = 6t - \frac{3}{4}t^2\)。
(2) \(S = 12 - \frac{3}{4}(t-4)^2\)。\(S_{\max}=12\)，\(t=4\)，\(P(4,3)\)。
(3) \(OA' = 6\)，\(A'\) 在 \(x\) 轴上 → \(A'(6,0)\)（正半轴）。\(AA'\) 中点 \(M(3,3)\)。\(OP\) 过 \(O\) 和 \(M\) → \(OP: y=x\)。与 \(AB\) 联立得 \(P(\frac{24}{7}, \frac{24}{7})\)。
(1) \(P\) 横坐标为 \(t\)，在 \(AB\) 上：\(y_P = -\frac{3}{4}t + 6\)。矩形 \(OQPR\)：\(OQ = t\)，\(OR = 6-\frac{3}{4}t\)。\(S = t(6-\frac{3}{4}t) = -\frac{3}{4}t^2 + 6t\)，\(0 < t < 8\)。
(2) \(S = -\frac{3}{4}(t^2 - 8t) = -\frac{3}{4}[(t-4)^2 - 16] = 12 - \frac{3}{4}(t-4)^2\)。当 \(t=4\) 时 \(S_{\max} = 12\)，\(P(4, 3)\)，恰为 \(AB\) 中点。
(3) 翻折后 \(OA' = OA = 6\)。\(A'\) 在 \(x\) 轴上：\(x'^{2} = 36\) → \(x' = \pm 6\)。\(A'(-6,0)\) → \(OP: y=-x\) → 与 \(AB\) 交于 \(x=-24\)（不在 \(AB\) 上），舍去。\(A'(6,0)\) → \(AA'\) 中点 \(M(3,3)\) → \(OP: y=x\)。与 \(AB\) 联立：\(x = -\frac{3}{4}x+6\) → \(x = \frac{24}{7}\)。\(P(\frac{24}{7}, \frac{24}{7})\)。验：\(0 < \frac{24}{7} < 8\) ✓。
\(P(t, 6 - \frac{3}{4}t)\)。\(OQ = t\)，\(OR = 6 - \frac{3}{4}t\)。\(S = t(6-\frac{3}{4}t) = -\frac{3}{4}t^2 + 6t\)，\(0 < t < 8\)。
\(S = -\frac{3}{4}(t^2 - 8t) = -\frac{3}{4}[(t-4)^2 - 16] = 12 - \frac{3}{4}(t-4)^2\)。当 \(t=4\) 时 \(S_{\max} = 12\)，\(P(4, 3)\)，\(AB\) 中点。
翻折 → \(OA' = OA = 6\)。\(A'\) 在 \(x\) 轴上 → \(A'(\pm 6, 0)\)。\(A'(-6,0)\) → \(OP: y=-x\)，与 \(AB\) 交于 \((-24, 24)\)，不在线段上，舍去。\(A'(6,0)\) → \(AA'\) 中点 \(M(3,3)\) → \(OP: y=x\)。联立 \(x = -\frac{3}{4}x+6\) → \(x = \frac{24}{7}\)。\(P(\frac{24}{7}, \frac{24}{7})\)。验：在线段内 ✓。
| # | 易错点 | 错在哪一步 | 怎么避免 |
|---|---|---|---|
| ① | \(OR\) 写成 \(6\) 而不是 \(6-\frac{3}{4}t\) | (1) | \(R\) 的纵坐标 \(=P\) 的纵坐标，不是 \(A\) 的 |
| ② | 配方提出 \(-\frac{3}{4}\) 后括号内忘写 \(-8t\) | (2) | 展开验证：\(-\frac{3}{4}(t^2-8t) = -\frac{3}{4}t^2+6t\) |
| ③ | \(x'^{2}=36\) 只取 \(x'=6\)，漏检 \(x'=-6\) | (3) | 两个解都要代入验证 |
| ④ | 得 \(P\) 后不验证是否在线段上 | (3) | 检查 \(0 < \frac{24}{7} < 8\) |
| 能力维度 | 训练效果 |
|---|---|
| 动点坐标化 | \(P(t, 6-\frac{3}{4}t)\)——用一次函数锁死两个坐标 |
| 面积→二次函数 | 矩形面积是横纵坐标的乘积 |
| 配方法求最值 | \(S = 12 - \frac{3}{4}(t-4)^2\)，顶点即最值 |
| 翻折对称性 | 折痕 = 中垂线，\(OA' = OA\) |
| 两解检验 | 平方开方两个解，逐一验证排除 |
将"矩形 \(OQPR\)"改为"\(\triangle OPQ\)"，其余不变。求 \(\triangle OPQ\) 面积的最大值。
简答：\(S = \frac{1}{2}t(6-\frac{3}{4}t) = 3t - \frac{3}{8}t^2 = 6 - \frac{3}{8}(t-4)^2\)，\(S_{\max} = 6\)（\(t=4\)）。
将 \(A, B\) 改为 \(A(0,8), B(6,0)\)。重新求解 (2)(3)。
简答：(2) \(AB: y = -\frac{4}{3}x + 8\)。\(S = t(8-\frac{4}{3}t) = 8t - \frac{4}{3}t^2 = 12 - \frac{4}{3}(t-3)^2\)。\(S_{\max}=12\)，\(P(3,4)\)。(3) \(OA'=8\) → \(A'(8,0)\)。\(AA'\) 中点 \(M(4,4)\) → \(OP: y=x\)。联立得 \(P(\frac{24}{7}, \frac{24}{7})\)。
将 (3) 改为"若 \(A'\) 恰好落在 \(y\) 轴上，求 \(P\)"。
简答：\(A'\) 在 \(y\) 轴上且 \(OA' = 6\) → \(A'(0,-6)\)（\(A'(0,6)=A\) 舍）。\(AA'\) 中点 \(M(0,0)=O\) → \(M=O\) 无法确定 \(OP\) 方向。需额外条件。
| 小题 | 分值 | 得分点 | 细分 |
|---|---|---|---|
| (1) | 3分 | ① \(P(t, 6-\frac{3}{4}t)\) | 1分 |
| ② 矩形边长 | 1分 | ||
| ③ \(S = -\frac{3}{4}t^2 + 6t\) | 1分 | ||
| (2) | 4分 | ① 配方过程 | 2分 |
| ② \(S_{\max}=12\)，\(P(4,3)\) | 2分 | ||
| (3) | 5分 | ① \(OA'=6\)，\(A'(\pm 6,0)\) | 1.5分 |
| ② 排除 \(A'(-6,0)\) | 1分 | ||
| ③ \(OP: y=x\)，联立求 \(P\) | 1.5分 | ||
| ④ \(P(\frac{24}{7},\frac{24}{7})\)，验线段上 | 1分 |
\(A(0,6), B(8,0)\) 构成 6-8-10 三角形，\(AB\) 斜率 \(-\frac{3}{4}\)。矩形面积 \(S = t(6-\frac{3}{4}t)\) 的系数全是简单有理数，顶点 \(t=4\) 使 \(P\) 为 \(AB\) 中点——\(A(0,a), B(b,0)\) 时顶点恒为 \(t=b/2\)。(3) 翻折锁定 \(A'(6,0)\) 后，\(OP\) 恰好是 \(y=x\)——因为 \(A(0,6)\) 和 \(A'(6,0)\) 关于 \(y=x\) 对称，命题者选的数字使折痕斜率极简。"坐标化→最值→翻折"的节奏是代数→代数→几何，测试学生能否自如切换。
(3) 排除 \(A'(-6,0)\)：代数法（算交点不在线段上）直接有效；几何法（\(A'\) 在 \(O\) 左侧意味着折痕大幅左倾，与 \(AB\) 难交于线段内）可作为辅助判断。
\(OA'=6, A'\) 在 \(x\) 轴上 → \(x'^{2}=36\) 有两个解。学生默认"\(A'\) 在正半轴"而漏掉负半轴——这是坐标系问题最常见的失分点。题目只说"在 \(x\) 轴上"，正负都是 \(x\) 轴。
函数与几何的双向翻译。(1)(2) 几何→函数（面积→二次函数），(3) 函数→几何（翻折条件→坐标→方程→交点）。整道题在两种语言间穿梭四次。
10维自检：真实性9/徐汇9/递进10/隐藏9/区分8/竞赛10/教辅10/计算10/无意义10/入口出口9。总评94。