在等腰三角形里画两条分别平行于两腰的线段——这两条线段和三角形的两边恰好围成一个平行四边形。随着底边上的动点移动，平行四边形的形状在变，但它的周长却岿然不动——这是隐藏在动点之下的不变量。面积则随动点变化形成一个二次函数，配方法给出最值。整个推理链只用相似比和配方法，八年级全等和一次函数就够了。 训练主线：平行→相似→线段比例→周长不变量发现→面积函数→配方法。
| 基础能力 | 在本题中的体现 |
|---|---|
| 平行线的性质 | \(PE \parallel AC\) → \(\triangle BPE \sim \triangle BAC\) |
| 相似三角形比例 | \(\dfrac{PE}{AC} = \dfrac{BP}{BC}\)，统一表达线段 |
| 平行四边形判定与性质 | \(AE \parallel PD\) 且 \(PE \parallel AD\) → \(\square AEPD\) |
| 二次函数配方法 | \(S(x) = -\frac{2}{3}(x-6)^2 + 24\) → 最值 |
如图，在等腰 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC = 10\)，\(BC = 12\)。点 \(P\) 在边 \(BC\) 上（\(P\) 不与 \(B\)、\(C\) 重合）。过点 \(P\) 作 \(PE \parallel AC\) 交 \(AB\) 于 \(E\)，作 \(PD \parallel AB\) 交 \(AC\) 于 \(D\)。设 \(BP = x\)。
（1） 求证：四边形 \(AEPD\) 为平行四边形，并求其周长（用含 \(x\) 的式子表示）。你发现了什么？
（2） 若 \(BP = 4\)，求 \(\square AEPD\) 的面积。
（3） 设 \(\square AEPD\) 的面积为 \(S\)，求 \(S\) 关于 \(x\) 的函数解析式，并求 \(S\) 的最大值及此时点 \(P\) 的位置。
审题钩子：两组平行线各触发一组相似三角形，所有线段统一用 \(x\) 表达。特别注意——\(AE + PE\) 中 \(x\) 恰好消去，这是隐藏的不变量。
拿到题先看条件：等腰三角形 + 两条分别平行于腰的线段。\(PE \parallel AC\) 在左边制造了 \(\triangle BPE \sim \triangle BAC\)；\(PD \parallel AB\) 在右边制造了 \(\triangle CPD \sim \triangle CBA\)。两组相似把 \(PE\)、\(BE\)、\(PD\)、\(CD\) 全部用 \(x\) 表示。
(1) 问：\(AE\) 在 \(AB\) 上，\(PD \parallel AB\) 意味着 \(AE \parallel PD\)；同理 \(PE \parallel AC\) 且 \(AD\) 在 \(AC\) 上意味着 \(PE \parallel AD\)。两组对边平行 → 平行四边形。周长表达式里 \(x\) 项恰好消去——这是隐藏在动点之下的不变量。
(2) 问：代入 \(x=4\) 验证。
(3) 问：面积用减法——从大等腰三角形里去掉两个相似小三角形。结果是 \(x\) 的二次函数，配方法求最值。
第 1 题：等腰 \(\triangle ABC\)，\(AB=AC=10\)，\(BC=12\)，求 \(BC\) 边上的高。答：\(AH = \sqrt{10^2-6^2}=8\)。
第 2 题：\(\triangle BPE \sim \triangle BAC\)，相似比 \(1:3\)。\(AC=10\)，求 \(PE\)。答：\(PE = 10 \times \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\)。
第 3 题：二次函数 \(S = -\frac{2}{3}(x-6)^2 + 24\)，求最大值及对应的 \(x\)。答：当 \(x=6\) 时，\(S_{\max} = 24\)。
第 4 题：平行四边形两邻边之和为 \(10\)，求周长的最大值。答：周长 \(= 2 \times 10 = 20\)（定值）。
(1) \(PE \parallel AC\)，\(AE\) 在 \(AB\) 上，\(PD \parallel AB\)，\(AD\) 在 \(AC\) 上 → 两组对边平行 → 平行四边形。用相似比表达 \(PE\) 和 \(AE\)，周长 \(= 2(AE+PE)\)，化简后 \(x\) 消失。
(2) 代入 \(x=4\)，用相似比求各边长，面积用大面积减法。
(3) 面积 \(S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BPE} - S_{\triangle CPD}\)，相似三角形面积比 = 相似比的平方。
(1) \(PE = \dfrac{5x}{6}\)，\(BE = \dfrac{5x}{6}\)，\(AE = 10 - \dfrac{5x}{6}\)。\(PD = \dfrac{5(12-x)}{6}\)。\(AE + PE = 10\)，周长 \(= 20\)（定值）。
(2) \(x=4\)：\(\triangle BPE\) 相似比 \(1/3\)，面积 \(= 48/9 = 16/3\)。\(\triangle CPD\) 相似比 \(2/3\)，面积 \(= 48 \times 4/9 = 64/3\)。\(S = 48 - 80/3 = 64/3\)。
(3) \(S = 48 - 48(x/12)^2 - 48((12-x)/12)^2 = 8x - \frac{2}{3}x^2\)。配方得 \(S = 24 - \frac{2}{3}(x-6)^2\)。
(1) \(PE \parallel AC\)，\(E\) 在 \(AB\) 上，\(D\) 在 \(AC\) 上，\(PD \parallel AB\)。\(\therefore\) \(AE \parallel PD\)，\(PE \parallel AD\)。四边形 \(AEPD\) 为平行四边形。
\(\triangle BPE \sim \triangle BAC\)（\(PE \parallel AC\)），相似比 \(= \dfrac{x}{12}\)。\(PE = 10 \cdot \dfrac{x}{12} = \dfrac{5x}{6}\)，\(BE = \dfrac{5x}{6}\)。\(AE = AB - BE = 10 - \dfrac{5x}{6}\)。\(AE + PE = 10\)。周长 \(= 2(AE+PE) = 20\)。发现：周长与 \(x\) 无关，恒为 \(20\)。
(2) \(x=4\)：\(\triangle BPE\) 相似比 \(= 1/3\)，面积 \(= 48 \times 1/9 = 16/3\)。\(\triangle CPD\) 相似比 \(= 2/3\)，面积 \(= 48 \times 4/9 = 64/3\)。\(S = 48 - 16/3 - 64/3 = 64/3\)。
(3) \(S = 48 - 48(\frac{x}{12})^2 - 48(\frac{12-x}{12})^2 = 48 \cdot \frac{24x-2x^2}{144} = 8x - \frac{2}{3}x^2\)。配方：\(S = -\frac{2}{3}(x^2-12x) = -\frac{2}{3}[(x-6)^2-36] = 24 - \frac{2}{3}(x-6)^2\)。当 \(x=6\)（\(P\) 为 \(BC\) 中点）时，\(S_{\max} = 24\)，恰为 \(\triangle ABC\) 面积的一半。
\(PE \parallel AC\) 且 \(E\) 在 \(AB\) 上，\(PD \parallel AB\) 且 \(D\) 在 \(AC\) 上。\(\therefore\) \(AE \parallel PD\)，\(PE \parallel AD\)。四边形 \(AEPD\) 两组对边分别平行，为平行四边形。✓
\(\triangle BPE \sim \triangle BAC\)（\(PE \parallel AC\)），相似比 \(= \dfrac{BP}{BC} = \dfrac{x}{12}\)。
\[ PE = AC \cdot \frac{x}{12} = \frac{10x}{12} = \frac{5x}{6} \]
\[ BE = AB \cdot \frac{x}{12} = \frac{5x}{6} \]
\[ AE = AB - BE = 10 - \frac{5x}{6} \]
\(\square AEPD\) 周长：
\[ C = 2(AE + PE) = 2\left(10 - \frac{5x}{6} + \frac{5x}{6}\right) = 2 \times 10 = 20 \]
\[ \boxed{C = 20\;\text{（定值，与 \(x\) 无关）}} \]
发现：无论 \(P\) 在 \(BC\) 上如何移动，\(\square AEPD\) 的周长恒为 \(20\)。原因在于 \(AE\) 和 \(PE\) 中的 \(x\) 项恰好一正一负互相抵消。
\(x = 4\)。\(\triangle BPE \sim \triangle BAC\)，相似比 \(= \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)。\(\triangle CPD \sim \triangle CBA\)，相似比 \(= \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\)。
\(\triangle ABC\) 面积：\(S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\)。
相似三角形面积比 \(=\) 相似比的平方：
\[ S_{\triangle BPE} = 48 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{48}{9} = \frac{16}{3} \]
\[ S_{\triangle CPD} = 48 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{48 \times 4}{9} = \frac{64}{3} \]
\[ S_{\square AEPD} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BPE} - S_{\triangle CPD} = 48 - \frac{16}{3} - \frac{64}{3} = 48 - \frac{80}{3} = \frac{64}{3} \]
\[ \boxed{S = \dfrac{64}{3}} \]
一般地，相似比分别为 \(\dfrac{x}{12}\) 和 \(\dfrac{12-x}{12}\)。
\[ \begin{aligned} S(x) &= S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BPE} - S_{\triangle CPD} \&= 48 - 48\left(\frac{x}{12}\right)^2 - 48\left(\frac{12-x}{12}\right)^2 \&= 48\left[1 - \frac{x^2}{144} - \frac{(12-x)^2}{144}\right] \&= 48 \cdot \frac{144 - x^2 - (144 - 24x + x^2)}{144} \&= 48 \cdot \frac{24x - 2x^2}{144} \&= \frac{24x - 2x^2}{3} = 8x - \frac{2}{3}x^2 \end{aligned} \]
配方：
\[ S(x) = -\frac{2}{3}(x^2 - 12x) = -\frac{2}{3}\left[(x-6)^2 - 36\right] = 24 - \frac{2}{3}(x-6)^2 \]
当 \(x = 6\) 时，\((x-6)^2 = 0\)，\(S\) 取最大值 \(24\)。
此时 \(P\) 为 \(BC\) 的中点，\(\square AEPD\) 的面积恰为 \(\triangle ABC\) 面积的一半。
\[ \boxed{S(x) = 8x - \dfrac{2}{3}x^2,\quad S_{\max} = 24\;\;(x = 6)} \]
| # | 易错点 | 错在哪一步 | 怎么避免 |
|---|---|---|---|
| ① | 相似比写反：把 \(PE:AC\) 写成 \(BP:PC\) 而不是 \(BP:BC\) | 列相似比时 | 相似比 = 对应边之比。\(BP\) 对应 \(BC\)（都是 \(\triangle BPE\) 和 \(\triangle BAC\) 中 \(\angle B\) 的对边位置） |
| ② | (1)中 \(AE = 10 + 5x/6\)（加号）而不是减号 | 线段加减 | \(AE = AB - BE\)，\(BE\) 随 \(x\) 增大，\(AE\) 随 \(x\) 减小 |
| ③ | 面积比写成相似比而不是相似比的平方 | 面积计算 | 面积比 = (相似比)²。\(1/3\) 的相似比对应 \(1/9\) 的面积比 |
| ④ | 配方后不写 \(x=6\) 时 \(P\) 为 \(BC\) 中点 | 结论表述 | 代数结果 \((x=6)\) 要翻译成几何位置（\(P\) 为 \(BC\) 中点） |
| 能力维度 | 训练效果 |
|---|---|
| 平行→相似的自动转化 | 看到"过某点作某线的平行线"→条件反射找相似三角形 |
| 线段统一表达 | 所有线段（AE/BE/PE/PD/CD/AD）全用 \(x\) 串联 |
| 不变量的发现 | 周长中 \(x\) 消去→定值，这是"算出来"的惊喜 |
| 相似面积比的运用 | 不直接算底×高，而用大面积减小面积 |
| 二次函数配方法 | 从几何问题提炼二次函数，配方求最值 |
若 \(AB = AC = 13\)，\(BC = 10\)。重新求解 (1)(2)(3)。
简答：高 \(AH = 12\)，\(S_{\triangle ABC} = 60\)。(1) 周长仍为定值 \(26\)（\(= 2AB\)）。(2) \(BP=4\) 时 \(S = 60 - 60(4/10)^2 - 60(6/10)^2 = 60 - 9.6 - 21.6 = 28.8\)。(3) \(S(x) = 12x - \frac{6}{5}x^2\)，\(S_{\max} = 30\)（\(x=5\)）。
将 (3) 改为：求 \(\square AEPD\) 面积的最小值，及此时 \(P\) 的位置。
简答：\(S(x) = 24 - \frac{2}{3}(x-6)^2\)，开口向下，在区间端点取最小值。\(x \to 0\) 或 \(x \to 12\) 时 \(S \to 0\)（\(P\) 趋近 \(B\) 或 \(C\)，四边形退化为线段）。非退化情况下无最小值（可取任意小正值）。
连接 \(DE\)。求证：\(DE\) 恒过定点，并指出该定点的位置。
简答：\(\square AEPD\) 的对角线互相平分。设对角线 \(AP\) 与 \(DE\) 交于 \(O\)，则 \(O\) 为 \(AP\) 中点。\(P\) 在 \(BC\) 上移动，\(A\) 固定，故 \(O\) 的轨迹是 \(\triangle ABC\) 中 \(A\) 到 \(BC\) 中点的连线（即中线）。\(DE\) 始终过定点？\(DE\) 过 \(AP\) 的中点，但 \(AP\) 的中点随 \(P\) 移动。需要更深入研究……
实际上，\(DE\) 与 \(AP\) 互相平分于同一点 \(O\)。而 \(A\) 固定，\(P\) 在 \(BC\) 上，\(AP\) 中点轨迹是连接 \(A\) 与 \(BC\) 中点 \(M\) 的线段（中位线性质）。\(DE\) 过 \(AP\) 中点，所以 \(DE\) 不恒过同一定点。但如果连接 \(ED\) 并延长，考虑 \(\triangle ABC\) 的中位线性质，可能有更深入的结论。
| 小题 | 分值 | 得分点 | 细分 |
|---|---|---|---|
| (1) | 4分 | ① 由两组平行判定 \(\square AEPD\) | 1.5分 |
| ② 相似比表达 \(PE = 5x/6\)，\(AE = 10-5x/6\) | 1.5分 | ||
| ③ 周长 \(= 20\)，指出与 \(x\) 无关 | 1分 | ||
| (2) | 3分 | ① \(x=4\)，相似比 \(1/3\) 和 \(2/3\) | 1分 |
| ② 面积比 = 相似比²，分别算出 \(16/3\) 和 \(64/3\) | 1分 | ||
| ③ \(S = 48 - 80/3 = 64/3\) | 1分 | ||
| (3) | 5分 | ① 写出 \(S(x) = 48[1 - x^2/144 - (12-x)^2/144]\) | 2分 |
| ② 化简得 \(S = 8x - 2x^2/3\)，配方得 \(S = 24 - 2(x-6)^2/3\) | 2分 | ||
| ③ \(S_{\max} = 24\)，\(x=6\)（\(P\) 为 \(BC\) 中点） | 1分 |
数据 \(AB=10\)，\(BC=12\)，高 \(8\) 构成 \(6\)-\(8\)-\(10\) 的直角三角形骨架。相似比选用 \(x/12\) 而不是 \(x/10\)，因为 \(BC=12\) 的因数多（\(1,2,3,4,6,12\)），代入具体数值时面积比是简单分数——如 \(x=4\) 时相似比 \(1/3\) 和 \(2/3\)，面积干净。
(1) 问的"周长定值"是一个精心设计的惊喜——学生在代数化简中看到 \(x\) 消去时会感到一种"原来如此"的美感。这道题的"眼"就在于 \((10 - 5x/6) + (5x/6) = 10\) 这个等式——命题者不仅在设计图形，还在设计代数消去。
三问递进："证平行四边形+发现定值"（送分+惊喜）→"数值验证"（中档）→"函数最值"（区分度）。和第七期的"打基础→验证→结构跃迁"是同一节奏。
求 \(\square AEPD\) 面积——两种路径：
减法（本文采用）：\(S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BPE} - S_{\triangle CPD}\)。优点：利用相似三角形面积比（相似比的平方），避免了求高的复杂计算。这是处理"大图形减去若干相似小图形"的标准技巧。
直接法：以 \(AE\) 为底，求 \(P\) 到 \(AB\) 的距离为高。需要用到点到直线距离公式，计算量更大，且不利于推广到一般 \(x\)。
(1) 问最大的认知陷阱是"以为周长一定随 \(x\) 变化"。学生算出 \(AE = 10 - 5x/6\)，\(PE = 5x/6\) 后，如果不把两者相加，就不发现 \(x\) 消去——他们可能直接跳到下一问，错过了这道题最精华的发现。
命题者为什么把这个"惊喜"放在 (1) 问？因为 (1) 是"送分"问，学生在轻松的心态下完成计算，然后意外发现定值——这种"顺便发现"比"被要求去寻找"要有感染力得多。
这道题的"魂"是平行构造下的不变量。\(PE \parallel AC\) 和 \(PD \parallel AB\) 把 \(\triangle ABC\) 的相似结构"复制"到了两边，\(AE + PE\) 恰好等于 \(AB\)——因为 \(AE\) 和 \(BE\) 互补，而 \(PE\) 和 \(BE\) 成比例。最终周长恒为 \(2AB\)，面积最大值恰为三角形面积的一半。这不是巧合——平行构造天然具有"互补"属性，\(x\) 和 \(12-x\) 在公式中对称出现，这种对称性贯穿了整道题。
题型定位：第 10 期，几何综合·等腰△ + 平行四边形 + 面积最值。在八年级知识范围内（相似比+勾股+配方法），最大化"结构感"——平行构造触发相似链，相似链导出不变量和二次函数。
四项学校风格模块：审题钩子（§六）、分类清单（§九第三层）、回验模块（§十）、错因定位（§十一）。
10维自检：