等边三角形里藏着一个 60° 的旋转——将其中一个三角形绕顶点转 60°，等边重合，全等产生，一个等边三角形浮出水面。利用等边三角形的高和勾股定理，动点带来的线段变化转化为二次函数，对称性自然浮现。全程八年级工具：全等、勾股、配方法。 训练主线：旋转构造 → 等边判定 → 勾股求长 → 二次函数对称性。
| 基础能力 | 在本题中的体现 |
|---|---|
| 旋转的性质 | 旋转 60° → 对应边等、对应角等 |
| 等边三角形判定 | \(AD = AE\)，\(\angle DAE = 60^{\circ}\) |
| 勾股定理 | 等边三角形的高 + 动点横坐标差 |
| 二次函数配方法 | \(AD^2 = (x-3)^2 + 27\) |
| 对称性分析 | \(AD^2\) 关于 \(x=3\) 对称 |
如图，在等边 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = BC = CA = 6\)。点 \(D\) 在边 \(BC\) 上（\(D\) 不与 \(B\)、\(C\) 重合）。将 \(\triangle ABD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(60^{\circ}\)，点 \(B\) 的对应点为 \(C\)，点 \(D\) 的对应点为 \(E\)，连接 \(DE\)。
（1） 求证：\(\triangle ADE\) 为等边三角形。
（2） 若 \(BD = 2\)，求 \(AD\) 和 \(DE\) 的长。
（3） 设 \(BD = x\)（\(0 < x < 6\)），求 \(AD^2\) 关于 \(x\) 的表达式。是否存在两个不同的位置 \(D_1\)、\(D_2\)，使得 \(AD_1 = AD_2\)？若存在，指出 \(BD_1\) 与 \(BD_2\) 的数量关系；若不存在，请说明理由。
审题钩子： 旋转直接给出 \(AD = AE\) 和 \(\angle DAE = 60^{\circ}\) → \(\triangle ADE\) 为等边 → \(DE = AD\)。后续所有问题归结为"求 \(AD\)"。
(1) 问是旋转的标准结论——转出来的两条线段相等且夹角等于旋转角。
(2) 问求 \(AD\)，在 \(\triangle ABD\) 中已知 \(AB = 6\)，\(BD = 2\)，\(\angle B = 60^{\circ}\)。八年级不能用余弦定理，但可以作高 \(AH \perp BC\)：\(H\) 是 \(BC\) 中点，\(AH = 3\sqrt{3}\)，\(HD = |BH - BD| = 1\)，勾股即得。
(3) 问把 \(BD\) 换成 \(x\)：\(HD = |3 - x|\)，\(AD^2 = 27 + (3 - x)^2 = (x - 3)^2 + 27\)。对称轴 \(x = 3\)（\(BC\) 中点），两侧对称 → \(x_1 + x_2 = 6\)。
第 1 题：等边三角形边长 6，求高。答：\(3\sqrt{3}\)。
第 2 题：\(\triangle ADE\) 中 \(AD = AE\)，\(\angle DAE = 60^{\circ}\)，判定形状。答：等边。
第 3 题：\(\mathrm{Rt}\triangle AHD\)，\(AH = 3\sqrt{3}\)，\(HD = 1\)，求 \(AD\)。答：\(2\sqrt{7}\)。
第 4 题：\(y = (x-3)^2 + 27\)，若 \(y_1 = y_2\) 且 \(x_1 \neq x_2\)，求 \(x_1 + x_2\)。答：6。
(1) 旋转 \(60^{\circ}\) → \(AD = AE\)，\(\angle DAE = 60^{\circ}\) → 等边。
(2) 作高 \(AH\)，\(H\) 为 \(BC\) 中点。\(HD = BH - BD = 1\)，勾股。
(3) \(HD = |3 - x|\)，\(AD^2 = AH^2 + HD^2\)。二次函数对称性。
(1) \(\triangle ABD \cong \triangle ACE\)（旋转）→ \(AD = AE\)，\(\angle DAE = 60^{\circ}\) → 等边。
(2) \(AH = 3\sqrt{3}\)，\(HD = 1\)，\(AD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)，\(DE = AD = 2\sqrt{7}\)。
(3) \(AD^2 = 27 + (3-x)^2 = (x-3)^2 + 27\)。\(AD_1 = AD_2\) → \(|x_1-3| = |x_2-3|\) → \(x_1 + x_2 = 6\)。
(1) 旋转得 \(\triangle ABD \cong \triangle ACE\)。\(\therefore\) \(AD = AE\)。旋转角 \(\angle DAE = 60^{\circ}\)。\(\triangle ADE\) 为等边三角形（两边相等且夹角 \(60^{\circ}\)）。
(2) 作 \(AH \perp BC\) 于 \(H\)。等边 \(\triangle ABC\) 中 \(H\) 为 \(BC\) 中点，\(BH = 3\)，\(AH = \sqrt{36-9} = 3\sqrt{3}\)。\(BD = 2\)，\(HD = |3-2| = 1\)。\(\mathrm{Rt}\triangle AHD\)：\(AD = \sqrt{27+1} = 2\sqrt{7}\)。由 (1) 等边 → \(DE = AD = 2\sqrt{7}\)。
(3) \(BD = x\)，\(HD = |3-x|\)。\(AD^2 = AH^2 + HD^2 = 27 + (3-x)^2 = x^2 - 6x + 36 = (x-3)^2 + 27\)。若 \(AD_1 = AD_2\) 且 \(x_1 \neq x_2\)，\((x_1-3)^2 = (x_2-3)^2\) → \(x_1 + x_2 = 6\)。存在，且两点关于 \(BC\) 中点对称。当 \(x=3\) 时 \(AD_{\min} = 3\sqrt{3}\)（恰为等边三角形的高）。
将 \(\triangle ABD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(60^{\circ}\) 得到 \(\triangle ACE\)。由旋转性质：
\[ \triangle ABD \cong \triangle ACE \]
\(\therefore\) \(AD = AE\)（对应边相等）。
又旋转角即为 \(\angle DAE = 60^{\circ}\)。
在 \(\triangle ADE\) 中，\(AD = AE\) 且 \(\angle DAE = 60^{\circ}\)，故 \(\triangle ADE\) 为等边三角形。
作 \(AH \perp BC\) 于 \(H\)。
等边 \(\triangle ABC\) 中，\(H\) 为 \(BC\) 中点：
\[ BH = HC = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ AH = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
\(BD = 2\)，\(D\) 在 \(BC\) 上：
\[ HD = |BH - BD| = |3 - 2| = 1 \]
在 \(\mathrm{Rt}\triangle AHD\) 中，由勾股定理：
\[ AD = \sqrt{AH^{2} + HD^{2}} = \sqrt{27 + 1} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \]
由 (1) 知 \(\triangle ADE\) 为等边三角形，\(\therefore\) \(DE = AD = 2\sqrt{7}\)。
答：\(AD = 2\sqrt{7}\)，\(DE = 2\sqrt{7}\)。
设 \(BD = x\)（\(0 < x < 6\)）。\(D\) 在 \(BC\) 上，\(H\) 为 \(BC\) 中点 \((BH = 3)\)。
\[ HD = |BH - BD| = |3 - x| \]
在 \(\mathrm{Rt}\triangle AHD\) 中：
\[ AD^{2} = AH^{2} + HD^{2} = 27 + (3 - x)^{2} \]
\[ AD^{2} = 27 + 9 - 6x + x^{2} = x^{2} - 6x + 36 \]
配方：
\[ AD^{2} = (x - 3)^{2} + 27 \]
对称性探究： 若存在两个不同位置 \(D_{1}(x_{1})\) 和 \(D_{2}(x_{2})\) 使得 \(AD_{1} = AD_{2}\)，则：
\[ AD_{1}^{2} = AD_{2}^{2} \]
\[ (x_{1} - 3)^{2} + 27 = (x_{2} - 3)^{2} + 27 \]
\[ (x_{1} - 3)^{2} = (x_{2} - 3)^{2} \]
\(\because\) \(x_{1} \neq x_{2}\)，\(\therefore\) \(x_{1} - 3 = -(x_{2} - 3)\)，即：
\[ x_{1} + x_{2} = 6 \]
\(\therefore\) 存在两个不同位置使 \(AD\) 相等，且满足 \(BD_{1} + BD_{2} = 6\)。
几何意义： \(D_{1}\) 和 \(D_{2}\) 关于 \(BC\) 的中点 \(H\) 对称——一个在 \(H\) 左侧，一个在 \(H\) 右侧，到 \(H\) 的距离相等。
最值观察： 由 \(AD^{2} = (x - 3)^{2} + 27\) 可知，当 \(x = 3\)（\(D\) 与 \(H\) 重合，即 \(D\) 为 \(BC\) 中点）时，\(AD^{2}\) 取最小值 \(27\)，\(AD_{\min} = 3\sqrt{3}\)。此时 \(AD\) 恰为等边三角形的高——几何上，当中点 \(D\) 与垂足 \(H\) 重合时，\(AD\) 与 \(AH\) 重合，即为垂线段，自然最短。
| # | 易错点 | 错在哪一步 | 怎么避免 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| ① | 试图用余弦定理求 \(AD\) | (2) 求 \(AD\) 时 | 八年级没有余弦定理。正确做法是作高 \(AH\)，利用勾股定理 | ||
| ② | \(HD = 3 - x\) 忘了加绝对值 | (3) 表达 \(HD\) 时 | \(D\) 可能在 \(H\) 左侧（\(x<3\)）或右侧（\(x>3\)），\(HD = | 3-x | \) |
| ③ | (3) 中直接写 \(x_{1} + x_{2} = 6\)，不点明"关于中点对称" | 结论表述时 | 代数结果需要翻译成几何语言：对称于 \(BC\) 中点 \(H\) | ||
| ④ | 配方后忘记 \(AD^{2}\) 的最小值对应 \(AD\) 的最小值 | 取平方根时 | \(AD > 0\)，\(AD^{2}\) 最小 \(\Rightarrow\) \(AD\) 最小 |
| 能力维度 | 训练效果 |
|---|---|
| 旋转构造的自动识别 | 等边三角形 + 60° → 条件反射"旋转 60° 构造全等" |
| 等边三角形的判定 | 两边相等 + 夹角 60°——比"三边相等"更隐蔽的判定方式 |
| 勾股定理在非直角三角形中的应用 | 通过作高将一般三角形转化为直角三角形 |
| 二次函数配方法 | 从几何问题中提炼二次函数，用配方法分析对称性和最值 |
| 代数结果的几何翻译 | \(x_{1}+x_{2}=6\) 翻译为"关于中点对称" |
| 绝对值处理 | 动点在定点两侧时距离表达需要绝对值 |
将条件改为"绕点 \(A\) 顺时针旋转 \(60^{\circ}\)"。重新解答 (1)(2)(3)。
简答： 顺时针旋转同样得到 \(\triangle ADE\) 为等边三角形（(1) 不变）。点 \(E\) 的位置关于 \(AH\) 对称于原题。(2)(3) 中 \(AD\) 的计算完全不变——因为 \(AD\) 只依赖于 \(AH\) 和 \(HD\)，与旋转方向无关。
若等边 \(\triangle ABC\) 的边长改为 \(8\)，\(BD = 3\)。重新求解 (2)。
简答： \(AH = 4\sqrt{3}\)，\(BH = 4\)。\(HD = |4-3| = 1\)。\(AD = \sqrt{48 + 1} = 7\)。\(DE = 7\)。一般地，\(AD^{2} = 48 + (4-x)^{2} = x^{2} - 8x + 64 = (x-4)^{2} + 48\)。最小值 \(4\sqrt{3}\)（\(x=4\)，中点），对称性 \(x_{1}+x_{2}=8\)。
若将旋转角从 \(60^{\circ}\) 改为 \(90^{\circ}\)，其余条件不变。(1) 问的结论如何修改？
简答： 旋转 \(90^{\circ}\) 后 \(AD = AE\)，\(\angle DAE = 90^{\circ}\)。\(\triangle ADE\) 为等腰直角三角形，\(DE = \sqrt{2}AD\)（不再是等边）。(2) 中 \(AD = 2\sqrt{7}\)，\(DE = 2\sqrt{14}\)。(3) 中 \(AD\) 的表达式不变（仍由勾股得出），但 \(DE\) 需乘以 \(\sqrt{2}\)。对称性结论不变——因为对称性来源于 \(AD\) 的表达式，与旋转角无关。
| 小题 | 分值 | 得分点 | 细分 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | 3分 | ① 由旋转得 \(\triangle ABD \cong \triangle ACE\)，\(AD = AE\) | 1.5分 | ||
| ② 旋转角 \(\angle DAE = 60^{\circ}\)，判定 \(\triangle ADE\) 为等边 | 1.5分 | ||||
| (2) | 4分 | ① 正确作高 \(AH\)，求出 \(AH = 3\sqrt{3}\)，\(BH = 3\) | 1.5分 | ||
| ② 求 \(HD = | 3-2 | = 1\)，勾股得 \(AD = 2\sqrt{7}\) | 1.5分 | ||
| ③ 由等边得 \(DE = AD = 2\sqrt{7}\) | 1分 | ||||
| (3) | 5分 | ① 设 \(BD = x\)，写出 \(AD^{2} = 27 + (3-x)^{2}\) | 1.5分 | ||
| ② 配方得 \(AD^{2} = (x-3)^{2} + 27\) | 1分 | ||||
| ③ 由对称性得出 \(x_{1} + x_{2} = 6\)，说明几何意义 | 1.5分 | ||||
| ④ 指出 \(x = 3\) 时 \(AD_{\min} = 3\sqrt{3}\)（等边三角形的高） | 1分 |
这道题的"眼"在旋转角的选择——\(60^{\circ}\) 恰好等于等边三角形的内角。这带来了两个"自动"：(1) 旋转后 \(AB\) 与 \(AC\) 自然重合（因为 \(\angle BAC = 60^{\circ}\)）；(2) \(\triangle ADE\) 自然成为等边三角形（因为 \(AD = AE\) 且 \(\angle DAE = 60^{\circ}\)）。
数据的选择同样克制：边长 \(6\) 使高 \(AH = 3\sqrt{3}\) 含根号但 \(AH^{2} = 27\) 是整数；\(BD = 2\) 使 \(HD = 1\)，配合 \(AH^{2} = 27\) 得到 \(AD^{2} = 28\)——恰好是 \(4 \times 7\)，\(AD = 2\sqrt{7}\) 干干净净。如果 \(BD = 1\) 则 \(HD = 2\)，\(AD^{2} = 27 + 4 = 31\)——不如 \(28\) 好看。
三问的设计是"旋转入门 → 勾股求长 → 二次函数对称性"。(1) 给你旋转的武器；(2) 让你在具体数字上练手——\(2\sqrt{7}\) 这个数字提醒学生"不要期待每次都是整数"；(3) 把具体数字升华为字母 \(x\)，二次函数的对称性浮出水面——\(x_{1} + x_{2} = 6\) 恰好回到边长 \(6\)，这是数学内部的"回声"。
(2) 问——两种处理方式：
作高法（本文采用）：作 \(AH \perp BC\)，利用等边三角形的高已知 + 勾股定理。优点：思路清晰，每步都有几何依据，且为 (3) 问的一般的 \(x\) 做好了铺垫。
面积法（备选）：\(\triangle ABD\) 的面积可用两种方式表达——以 \(AB\) 为底和以 \(BD\) 为底。但这需要知道 \(\angle B = 60^{\circ}\) 的正弦值……这恰好是九年级的锐角三角比。在八年级范围内，作高是唯一的标准方法。这也是命题者有意为之——八升九的衔接处，"作高"和"三角比"之间的张力正是区分度的来源。
(3) 问——对称性发现的两种路径：
代数法：配方后直接读出对称轴 \(x = 3\)，两个 \(x\) 关于 3 对称 → \(x_{1} + x_{2} = 6\)。
几何直觉法：等边三角形是轴对称图形，\(AH\) 是对称轴。当 \(D\) 关于 \(H\) 对称时（即 \(D\) 在 \(H\) 左侧某处，另一个 \(D'\) 在 \(H\) 右侧等距处），两个 \(D\) 到 \(A\) 的距离必然相等。这是一种"看到"对称性的能力——不需要任何代数。
最大的认知陷阱在 (2) 问：学生看到 \(\triangle ABD\) 中已知 \(AB=6\)，\(BD=2\)，\(\angle B=60^{\circ}\)，本能地想用"余弦定理"——但八年级没学。这就是命题者设计的"试探"——看看学生是否会跳进超纲的坑，还是会老老实实作高。
更深层的误区在 (3) 问：很多学生写出 \(AD^{2} = 27 + (3-x)^{2}\) 后，直接说"当 \(x=3\) 时最小"，然后停笔。但题目问的是"是否存在两个不同的位置使 \(AD\) 相等"——这需要从二次函数的对称性出发，而不是从最值出发。惯性思维"二次函数就是求最值"会让学生错过真正的考点。
这道题的"魂"是几何量的代数化。\(AD\) 本来是几何中的一条线段，通过建立坐标系（以 \(H\) 为原点、\(BC\) 为 \(x\) 轴），\(AD\) 变成了 \(x\) 的函数：\(AD^{2} = (x-3)^{2} + 27\)。这个变换把"两个不同的 \(D\) 位置对应相同的 \(AD\)"从一个需要空间想象力的问题，变成了一个只需要解二次方程的代数问题。这正是解析几何思想的八年级萌芽——用代数工具回答几何问题。