正方形里藏着一个 45° 角——这是上海中考八年级几何的经典模型。它的核心手法只有一招：旋转构造全等。 把其中一个三角形绕正方形的顶点旋转 90°，让两条等边重合，原题中看似无关的两条线段（\(BE\) 和 \(DF\)）就"拼"在了一起，一条新的等量关系 (\(BE + DF = EF\)) 就暴露出来。这个旋转不是题目给你的——是你自己"看到"的。学会了这个模型的思维方式，一大类正方形 + 45° 的题都能用同一把钥匙打开。 训练主线：旋转构造 → 全等证明 → 线段转化 → 定值发现。 ---
| 基础能力 | 在本题中的体现 |
|---|---|
| 旋转的性质 | 旋转前后对应线段相等、对应角相等 |
| 全等三角形判定 (SAS) | 旋转得 \(AG = AF\)，证 \(\triangle GAE \cong \triangle FAE\) |
| 勾股定理 | (2) 中验证 \(\triangle CEF\) 为直角三角形 |
| 代数表达 | (3) 中用 \(x\) 表示各线段长度 |
| 整体代入简化 | (3) 中周长互相抵消得出定值 |
如图，在正方形 \(ABCD\) 中，\(AB = 6\)。点 \(E\) 在边 \(BC\) 上（\(E\) 不与 \(B\)、\(C\) 重合），点 \(F\) 在边 \(CD\) 上（\(F\) 不与 \(C\)、\(D\) 重合），且 \(\angle EAF = 45^{\circ}\)。
（1） 求证：\(BE + DF = EF\)。
（提示：将 \(\triangle ADF\) 绕点 \(A\) 顺时针旋转 \(90^{\circ}\)，观察旋转后的图形。）
（2） 若 \(BE = 2\)，求 \(DF\) 和 \(EF\) 的长，并求 \(\triangle AEF\) 的面积。
（3） 设 \(BE = x\)（\(0 < x < 6\)）。求证：\(\triangle CEF\) 的周长为定值，并求出这个定值。
给定：
审题钩子！旋转 90° 后发生的连锁反应：
拿到这道题，题目给了 45° 角和一个正方形。正方形天然有 90° 角和等边——45° 恰好是 90° 的一半。这说明 45° 角很有可能是一条角平分线——但它在平分什么角呢？
找旋转：正方形里两条等边 \(AB = AD\) 共顶点 \(A\)，夹角 \(90^{\circ}\)。如果绕 \(A\) 旋转 \(90^{\circ}\)，\(AD\) 会落到 \(AB\) 的位置，\(\triangle ADF\) 会变成另一个三角形。旋转后，\(F\) 会"飞"到 \(CB\) 延长线上的某一点 \(G\)。在旋转后的图形里，\(\angle EAF = 45^{\circ}\) 恰好是 \(90^{\circ}\) 旋转角的一半——也就是说，\(AE\) 恰好平分了 \(\angle GAF\)。
这给了什么？ 在 \(\triangle GAF\) 中，\(AG = AF\)（旋转得到），\(AE\) 是角平分线 → \(\triangle GAE \cong \triangle FAE\) (SAS) → \(GE = EF\) → \(BE + DF = EF\)。
整个推理链：旋转 90° → 等边重合 → \(AG = AF\) → 45° 恰好是半角 → SAS 全等 → 线段转化。 辅助线只有一条（\(AG\)），但它是旋转出来的自然结果，不是凭空画的。
点 \(D(0, 6)\) 绕原点 \(A(0, 0)\) 顺时针旋转 \(90^{\circ}\) 后落在何处？
简答： 顺时针旋转 \(90^{\circ}\)：\((x, y) \rightarrow (y, -x)\)。\(D(0, 6) \rightarrow (6, 0)\)，恰好与 \(B\) 重合。这正是正方形里旋转构造的基础。
已知 \(AG = AF\)，\(\angle GAE = \angle FAE = 45^{\circ}\)，\(AE = AE\)。判定 \(\triangle GAE\) 与 \(\triangle FAE\) 的关系。
简答： 两边及其夹角对应相等 (SAS)，\(\triangle GAE \cong \triangle FAE\)。\(\therefore\) \(GE = EF\)。
\(G\) 在 \(CB\) 的延长线上，\(B\) 在 \(C\) 与 \(G\) 之间，\(BE = 2\)，\(BG = 3\)。求 \(GE\)。
简答： \(GE = GB + BE = 3 + 2 = 5\)。
正方形 \(ABCD\) 边长为 6。\(\triangle ABE\) 面积 = 6（\(BE = 2\)），\(\triangle ADF\) 面积 = 9（\(DF = 3\)），\(\triangle CEF\) 面积 = 6。求 \(\triangle AEF\) 面积。
简答： \(S_{\triangle AEF} = 36 - 6 - 9 - 6 = 15\)。
(1) 题目给了提示：绕 \(A\) 顺时针旋转 \(\triangle ADF\) 90°。旋转后 \(AD\) 落到 \(AB\)，\(F\) 落到 \(CB\) 延长线上某点 \(G\)。旋转带来了 \(AG = AF\) 和 \(\angle GAF = 90^{\circ}\)。已知 \(\angle EAF = 45^{\circ}\)，恰好是 \(90^{\circ}\) 的一半——所以 \(AE\) 是角平分线。结合 \(AG = AF\)，你能找到一对全等三角形。
(2) 设 \(DF = y\)。由 (1) 得 \(EF = 2 + y\)。在 \(\mathrm{Rt}\triangle CEF\) 中用勾股定理列方程解 \(y\)。面积用减法。
(3) 用 \(x\) 表示 \(CE\)、\(CF\)、\(EF\)，周长相加，观察各项能否互相抵消。
(1) \(\triangle ADF \cong \triangle ABG\)（旋转）。\(AG = AF\)，\(BG = DF\)。\(\angle GAF = 90^{\circ}\)，\(\angle EAF = 45^{\circ}\) → \(\angle GAE = 45^{\circ} = \angle FAE\)。又 \(AE = AE\) → \(\triangle GAE \cong \triangle FAE\) (SAS) → \(GE = EF\) → \(BE + DF = EF\)。
(2) 设 \(DF = y\)，\(EF = 2 + y\)。\(CE = 4\)，\(CF = 6 - y\)。勾股：\((2 + y)^2 = 4^2 + (6 - y)^2\) → \(4 + 4y + y^2 = 16 + 36 - 12y + y^2\) → \(16y = 48\) → \(y = 3\)。\(\therefore\) \(DF = 3\)，\(EF = 5\)。\(S_{\triangle AEF} = 36 - 6 - 9 - \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 15\)。
(3) \(CE = 6 - x\)。由 (1) \(EF = x + DF\)。在 \(\mathrm{Rt}\triangle CEF\) 中：\((x + DF)^2 = (6 - x)^2 + (6 - DF)^2\)。展开解出 \(DF = \frac{6(6 - x)}{x + 6}\)。\(\triangle CEF\) 周长 = \((6-x) + (6-DF) + (x+DF) = 12\)。
(1) 详细证明：
将 \(\triangle ADF\) 绕点 \(A\) 顺时针旋转 \(90^{\circ}\)：
由旋转性质：\(\triangle ADF \cong \triangle ABG\)。\(\therefore\) \(AG = AF\)，\(BG = DF\)，\(\angle GAF = 90^{\circ}\)。
又已知 \(\angle EAF = 45^{\circ}\)，\(\therefore\) \(\angle GAE = \angle GAF - \angle EAF = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} = \angle FAE\)。
在 \(\triangle GAE\) 与 \(\triangle FAE\) 中：
\(\therefore\) \(\triangle GAE \cong \triangle FAE\)（SAS）。
\(\therefore\) \(GE = EF\)。
而 \(GE = GB + BE = DF + BE\)。
\(\therefore\) \(BE + DF = EF\)。得证。
(2) 数值计算：
设 \(DF = y\)。由 (1) 得 \(EF = BE + DF = 2 + y\)。
在 \(\mathrm{Rt}\triangle CEF\) 中，\(\angle C = 90^{\circ}\)：
由勾股定理：
\[ EF^{2} = CE^{2} + CF^{2} \]
\[ (2 + y)^{2} = 4^{2} + (6 - y)^{2} \]
\[ 4 + 4y + y^{2} = 16 + 36 - 12y + y^{2} \]
\[ 4y + 12y = 52 - 4 \]
\[ 16y = 48 \]
\[ y = 3 \]
\(\therefore\) \(DF = 3\)，\(EF = 2 + 3 = 5\)。
检验：\(CE = 4\)，\(CF = 6 - 3 = 3\)，\(4^{2} + 3^{2} = 25 = 5^{2}\)。\(\triangle CEF\) 为 \(3\)-\(4\)-\(5\) 直角三角形 ✓。
求 \(\triangle AEF\) 面积：
\[ \begin{aligned} S_{\triangle AEF} &= S_{\text{正方形}} - S_{\triangle ABE} - S_{\triangle ADF} - S_{\triangle CEF} \[4pt] &= 6^{2} - \frac{1}{2} \times 6 \times 2 - \frac{1}{2} \times 6 \times 3 - \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \[4pt] &= 36 - 6 - 9 - 6 = 15 \end{aligned} \]
(3) 周长定值：
设 \(BE = x\)（\(0 < x < 6\)），\(DF = y\)。
由 (1) 得 \(EF = x + y\)。
在 \(\mathrm{Rt}\triangle CEF\) 中：
\[ (x + y)^{2} = (6 - x)^{2} + (6 - y)^{2} \]
\[ x^{2} + 2xy + y^{2} = 36 - 12x + x^{2} + 36 - 12y + y^{2} \]
\[ 2xy = 72 - 12x - 12y \]
\[ 2xy + 12x + 12y = 72 \]
\[ 2(xy + 6x + 6y) = 72 \]
\[ xy + 6x + 6y = 36 \]
至此不必解出 \(y\)。直接算周长：
\[ \begin{aligned} C_{\triangle CEF} &= CE + CF + EF \ &= (6 - x) + (6 - y) + (x + y) \ &= 12 \end{aligned} \]
各项中含 \(x\)、\(y\) 的部分恰好互相抵消！\(\triangle CEF\) 的周长恒为 \(12\)，与 \(x\) 的取值无关。
几何意义：\(12 = 2 \times AB\)，等于正方形边长的两倍。
（完整推导过程见「分层提示·第三层」，此处不重复。）
关键步骤回顾：
| # | 易错点 | 错在哪一步 | 怎么避免 |
|---|---|---|---|
| ① | 旋转方向搞反——绕 \(A\) 逆时针转 \(\triangle ADF\)，结果 \(F\) 跑到正方形左侧去了 | 旋转的第一步 | 题目提示了"顺时针旋转"——顺时针 \(90^{\circ}\) 使 \(AD\) 落到 \(AB\)，\(F\) 落到 \(CB\) 延长线下方。画草图用箭头标旋转方向 |
| ② | SAS 全等时用错对应——把 \(AE\) 对应到 \(AG\) 而不是公共边 | 证全等时 | \(AE\) 是公共边，在两个三角形中都是自身。\(AG = AF\) 是旋转给的等边 |
| ③ | (2) 中勾股方程展开后漏项——\(y^2\) 两边消去但没注意 | 展开 \((2+y)^2\) 时 | 展开后两边 \(y^2\) 消去，方程降为一次，这是刻意设计的——命题者不想让你解二次方程 |
| ④ | (3) 试图解出 \(y\) 再代入——导出了二次关系但不必解 | 算周长时 | 注意到周长表达式中 \(x + y\) 和 \(-x - y\) 可以直接抵消，不需要单独求 \(y\) |
| 能力维度 | 训练效果 |
|---|---|
| 旋转构造意识 | 正方形 + 45° → 条件反射"旋转 90° 构造全等" |
| SAS 全等判定 | 旋转给的等边 + 旋转角减已知角 = 公共角 + 公共边 |
| 勾股建方程 | 几何问题中线段关系变成代数方程——几何→代数 |
| 整体观察 | (3) 不强求算出 \(y\)，看到 \(x\) 和 \(y\) 在周长中相消 |
将正方形边长改为 \(8\)，\(BE = 3\)。求 \(DF\)、\(EF\) 和 \(\triangle AEF\) 面积。
简答： \(DF = 8(8-3)/(3+8) = 40/11\)，\(EF = 3 + 40/11 = 73/11\)。勾股验证后 \(S_{\triangle AEF}\) 同理可求。周长定值 \(= 16\)。
将条件改为：\(E\) 在 \(BC\) 的延长线上（\(E\) 在 \(C\) 的右侧），\(F\) 在 \(CD\) 上，\(\angle EAF = 45^{\circ}\)。(1) 的结论还成立吗？需要怎样修改？
简答： 此时 \(BE > BC\)，旋转后 \(G\) 仍在 \(CB\) 延长线上，但 \(B\) 在 \(G\) 和 \(E\) 之间（与本题相反）。结论变为 \(EF = BE - DF\)（注意是减号）。几何意义：\(E\) 跑出了正方形，\(BE\) 变成了长线段。
若 \(\angle EAF = 30^{\circ}\)，正方形边长仍为 6。还能用旋转法证明类似的线段关系吗？为什么不能？
简答： 不能。旋转法奏效的关键是 \(\angle EAF = 45^{\circ} = \frac{1}{2} \times 90^{\circ}\)，恰好是旋转角的一半，从而得到 \(\angle GAE = \angle FAE\)。若 \(\angle EAF\) 不是 \(45^{\circ}\)，这个等角关系不成立，SAS 全等也就无从谈起。这就是"半角模型"名字的由来——必须是正方形内角的一半。
| 小题 | 分值 | 得分点 | 细分 |
|---|---|---|---|
| (1) | 5分 | ① 正确描述旋转并得到 \(\triangle ADF \cong \triangle ABG\) | 1.5分 |
| ② 推导 \(\angle GAE = \angle FAE = 45^{\circ}\) | 1.5分 | ||
| ③ SAS 全等 → \(GE = EF\) | 1分 | ||
| ④ 线段转化 → \(BE + DF = EF\) | 1分 | ||
| (2) | 4分 | ① 设 \(DF = y\)，用 (1) 结论得 \(EF = 2 + y\) | 1分 |
| ② 在 \(\mathrm{Rt}\triangle CEF\) 中列勾股方程 | 1分 | ||
| ③ 解出 \(y = 3\)，\(EF = 5\) | 1分 | ||
| ④ 面积 \(= 15\) | 1分 | ||
| (3) | 3分 | ① 用 \(x\) 表示 \(CE = 6 - x\)，\(EF = x + DF\) | 1分 |
| ② 周长代数相加，各项抵消 | 1分 | ||
| ③ 结论：定值 \(12\) | 1分 |
这道题的数字选择只有一个目的：让 (2) 问的方程降为一次而不是二次。
设 \(DF = y\) 后，勾股方程是 \((2 + y)^{2} = 4^{2} + (6 - y)^{2}\)。展开后两边的 \(y^{2}\) 恰好抵消——这不是巧合，而是命题者从代数层面反向设计的结果。选了边长 \(6\) 和 \(BE = 2\)，方程化简到 \(16y = 48\)，学生可以心算。如果选用 \(a = 8\) 和 \(x = 3\)，结果 \(DF = 40/11\)，就变成了分数运算——这在压轴题里会分散注意力。
三问的设计是"旋转构造 → 数值验证 → 定值升华"。(1) 给你武器；(2) 让你试刀——算出干净的 \(3\)-\(4\)-\(5\) 三角形让你相信这个模型是"对"的；(3) 把具体数字升华为字母，发现 \(x\) 和 \(y\) 在周长中相消——这是一个"惊喜"，也是命题者希望学生体验到的数学之美。
(1) 问——两种旋转方向都可以，但选对方向更省力。
顺时针旋转 \(\triangle ADF\)（本文采用）：\(F\) 落到 \(CB\) 延长线下方，\(B\) 在 \(G\) 和 \(E\) 之间。直观，线段 \(GE = GB + BE\) 自然表为加法。
逆时针旋转 \(\triangle ABE\)：\(E\) 落到 \(DC\) 延长线上，同样能得到 \(\triangle AEF \cong \triangle AGF\)。此时 \(GF = DF + BE\)（符号关系相同）。两种方法等价，但顺时针旋转因为 \(B\) 在正方形右下角，视觉上更容易想到。
无论选哪种，核心判断是一样的——"正方形里有 45° → 旋转 90°"。方向只是执行细节。
(1) 问最大的认知障碍是"不知道为什么选 90° 旋转"。 学生看到 \(45^{\circ}\) 和正方形，脑子里有两个信息：\(45^{\circ}\) 和 \(90^{\circ}\)。两者恰好是两倍关系——但很多学生不会把"两倍关系"翻译成"旋转后恰好是角平分线"。
根源在于：大多数学生把"旋转"当成工具（看到了才会用），而不是当成思维习惯（看到结构就主动想）。本题 (1) 给了提示，但如果没给，学生需要从"共顶点等边 \((AB = AD)\) + 特殊角度 \((45^{\circ} = 90^{\circ}/2)\)"这两个线索中自主推断出旋转构造。这个"从结构反推工具"的能力，正是八年级几何压轴题真正在考查的东西。
这道题的"魂"是旋转不变性——旋转改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。正方形的两条等边共顶点，天然形成了旋转对称的"轨道"。45° 恰好是 90° 的一半，使得旋转后的角度关系恰好对齐。这不是运气，而是正方形内角的一半模型（"半角模型"）的必然结论。理解了这个模型的本质，你就理解了为什么正方形的旋转构造是中考几何里最稳定的解题思路之一。
题型定位： 第 8 期，几何动点 + 旋转构造（对标 25 题）。选择半角模型因为它是最经典的八年级几何压轴结构——只用全等和勾股，不涉及九年级的相似和圆。
四项学校风格模块：
徐汇风格契合度：
10维自检：