上海中考数学压轴题专项练习

给定：

• \(\odot O\)，弦 \(AB = 8\)，圆心 \(O\) 到 \(AB\) 的距离 \(= 3\)
• \(C\) 在 \(\odot O\) 上（\(C\) 不在直线 \(AB\) 上）
• 过 \(C\) 的切线交直线 \(AB\) 于 \(P\)，\(PB = 1\)

审题钩子！由垂径定理直接推出：

• \(M\) 为 \(AB\) 中点 \(\Rightarrow\) \(AM = MB = 4\)
• \(OM \perp AB\) \(\Rightarrow\) \(OM = 3\)
• \(\odot O\) 半径：\(R = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5\)

由切线性质推出：

• \(OC \perp CP\) \(\Rightarrow\) \(\angle OCP = 90^{\circ}\)

由弦切角定理推出：

• \(\angle PCA = \angle CBA\)（弦切角 = 所夹弧对的圆周角）

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拿到这道题，先看图形里有哪些"天然直角"。

第一个直角在 \(M\) 处——垂径定理告诉你 \(OM \perp AB\)。\(M\) 在 \(AB\) 上，\(P\) 也在 \(AB\) 上，所以 \(OM \perp MP\)。这是一个"埋"在弦的中点处的直角。

第二个直角在 \(C\) 处——切线天然垂直于过切点的半径，\(OC \perp CP\)。

两个直角，共享同一条斜边 \(OP\)。这意味着什么？以 \(OP\) 为直径画一个圆，\(O\)、\(M\)、\(C\)、\(P\) 全在这个圆上。 这是 (3) 的最终结论——但你不需要画新圆，你只需要"看出"这两个直角在共享一条线段。

在 (3) 之前，(1) 和 (2) 做的是暖场工作：弦切角触发相似，相似给出等积式，等积式配上 \(PB=1\) 直接算出 \(PA\) 和 \(PC\)。这两问帮你确认所有长度关系都在掌控之中，(3) 才让你"视野抬高一寸"，去看这些线段之间的圆结构。

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第 1 题 — 垂径定理 + 勾股

\(\odot O\) 中弦 \(AB=8\)，圆心到 \(AB\) 的距离为 \(3\)。求 \(\odot O\) 的半径。

简答： \(M\) 为 \(AB\) 中点，\(AM=4\)。\(OM=3\)，\(OA^{2}=AM^{2}+OM^{2}=16+9=25\)，\(R=OA=5\)。

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第 2 题 — 弦切角 → 相似

已知：\(\odot O\) 中，\(PC\) 切 \(\odot O\) 于 \(C\)，\(PAB\) 是割线。求证：\(\angle PCA = \angle CBA\)。

简答： 弦切角等于它所夹弧（弧 \(CA\)）对的圆周角。弧 \(CA\) 对的圆周角为 \(\angle CBA\)，故 \(\angle PCA = \angle CBA\)。

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第 3 题 — AA 判定相似

在 \(\triangle PAC\) 与 \(\triangle PCB\) 中，\(\angle P\) 是公共角，\(\angle PCA = \angle CBA\)。判定两三角形相似。

简答： 两角对应相等（AA），\(\triangle PAC \sim \triangle PCB\)。

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第 4 题 — 四点共圆判定

四边形 \(OMCP\) 中，\(\angle OMP = 90^{\circ}\)，\(\angle OCP = 90^{\circ}\)。求证 \(O\)、\(M\)、\(C\)、\(P\) 共圆。

简答： 两个直角对同一条线段 \(OP\) \(\Rightarrow\) \(OP\) 是外接圆直径 \(\Rightarrow\) \(O\)、\(M\)、\(C\)、\(P\) 四点共圆。

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第一层（自主突破）

(1) 半径用垂径定理 + 勾股。弦切角定理直接从切线条件出发——切线 \(PC\)，割线 \(PAB\)，弦切角 \(\angle PCA\) 等于弧 \(CA\) 对的圆周角 \(\angle CBA\)。再看 \(\triangle PAC\) 和 \(\triangle PCB\)：公共角 \(\angle P\)，加这组等角 → AA 相似。相似给出比例，交叉相乘就是等积式。

(2) \(PB=1\) 已给，\(PA = AB + PB\)（因为 \(P\) 在 \(AB\) 延长线上，\(B\) 在 \(A\)、\(P\) 之间）。等积式直接出 \(PC\)。

(3) 图里有两处直角，用不同颜色标出来：\(OM \perp AB\)（垂径定理），\(OC \perp CP\)（切线性质）。它们共享斜边 \(OP\) → 四点共圆，\(OP\) 是直径。\(OM\) 和 \(MP\) 的长度已知，\(OP\) 用勾股。

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第二层（稍加引导）

(1) \(R = 5\)。\(\angle PCA = \angle CBA\)（弦切角定理）。又 \(\angle P\) 公共 → \(\triangle PAC \sim \triangle PCB\)（AA）。对应边成比例：\(PA/PC = PC/PB\) → \(PA \cdot PB = PC^{2}\)。

(2) \(P\) 在 \(AB\) 的延长线上，\(B\) 介于 \(A\)、\(P\) 之间（因为切线在圆外，\(P\) 不可能在弦上）。\(PA = AB + PB = 8 + 1 = 9\)。\(PC^{2} = 9 \times 1 = 9\) → \(PC = 3\)。

(3) \(OM \perp AB\)，\(P\) 在 \(AB\) 上 → \(OM \perp MP\) → \(\angle OMP = 90^{\circ}\)。\(OC\) 是半径，\(CP\) 是切线 → \(OC \perp CP\) → \(\angle OCP = 90^{\circ}\)。\(O\)、\(M\)、\(C\)、\(P\) 均满足以 \(OP\) 为斜边的直角三角形 → 四点共圆，\(OP\) 为直径。\(OM = 3\)，\(MP = MB + BP = 4 + 1 = 5\) → \(OP = \sqrt{3^{2}+5^{2}} = \sqrt{34}\)。外接圆半径 = \(\sqrt{34}/2\)。

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第三层（需要支撑）

(1) 详细推导：

\(M\) 为 \(AB\) 中点（垂径定理），\(AM = MB = 4\)。\(OM = 3\)。\(R = OA = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = \sqrt{25} = 5\)。

弦切角定理：\(PC\) 切 \(\odot O\) 于 \(C\) → \(\angle PCA = \angle CBA\)（等于弧 \(CA\) 所对的圆周角）。

在 \(\triangle PAC\) 与 \(\triangle PCB\) 中：

• \(\angle P\) 是公共角
• \(\angle PCA = \angle CBA\)（已证）

\(\therefore\) \(\triangle PAC \sim \triangle PCB\)（AA）。

对应边成比例：

\[ \frac{PA}{PC} = \frac{PC}{PB} = \frac{AC}{CB} \]

由 \(PA/PC = PC/PB\) 交叉相乘得：

\[ PA \cdot PB = PC^{2} \]

(2) 数值计算：

\(P\) 在直线 \(AB\) 上，且位于 \(B\) 的外侧（\(B\) 在 \(A\) 与 \(P\) 之间——因为 \(C\) 在 \(B\) 侧的上方圆弧上，过 \(C\) 的切线交 \(AB\) 延长线于该侧）。\(PB = 1\)，\(AB = 8\) → \(PA = 8 + 1 = 9\)。

由 (1) 中等积式：

\[ PC^{2} = PA \cdot PB = 9 \times 1 = 9 \quad\Rightarrow\quad PC = 3 \]

验算：\(PC < PA\) ✓（切线长小于割线全长），\(PC > PB\) ✓。数值合理。

(3) 四点共圆：

\(\angle OMP\)：\(M\) 为 \(AB\) 中点，\(OM \perp AB\)（垂径定理）。\(P\) 在直线 \(AB\) 上 ⇒ \(MP\) 在直线 \(AB\) 上 ⇒ \(OM \perp MP\) ⇒ \(\angle OMP = 90^{\circ}\)。

\(\angle OCP\)：\(OC\) 是半径，\(PC\) 是过 \(C\) 的切线 ⇒ \(OC \perp PC\)（切线性质）⇒ \(\angle OCP = 90^{\circ}\)。

\(\angle OMP = \angle OCP = 90^{\circ}\)，且这两个角都对着同一条线段 \(OP\)。

四点共圆判定： 若两个直角对着同一条线段，则这四个顶点共圆，且该线段为直径。

\(\therefore\) \(O\)、\(M\)、\(C\)、\(P\) 四点共圆，\(OP\) 为直径。

计算 \(OP\)：

\[ OM = 3,\quad MP = MB + BP = 4 + 1 = 5 \]

\[ OP = \sqrt{OM^{2} + MP^{2}} = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

外接圆半径 \(r = \dfrac{OP}{2} = \dfrac{\sqrt{34}}{2}\)。

答：四点共圆，外接圆半径为 \(\dfrac{\sqrt{34}}{2}\)。

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(1) 半径与等积式

取 \(M\) 为 \(AB\) 中点。由垂径定理，\(OM \perp AB\)，\(AM = MB = \dfrac{8}{2} = 4\)。

在 \(\mathrm{Rt}\triangle OMA\) 中：

\[ OA = \sqrt{AM^{2} + OM^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5 \]

\(\therefore\) \(\odot O\) 的半径 \(R = 5\)。

由弦切角定理，\(PC\) 切 \(\odot O\) 于 \(C\)，\(PAB\) 为割线：

\[ \angle PCA = \angle CBA \]

在 \(\triangle PAC\) 与 \(\triangle PCB\) 中：

• \(\angle P\) 为公共角
• \(\angle PCA = \angle CBA\)（弦切角定理）

\(\therefore\) \(\triangle PAC \sim \triangle PCB\)（AA）。

由相似得对应边成比例：

\[ \frac{PA}{PC} = \frac{PC}{PB} \]

交叉相乘：

\[ PA \cdot PB = PC^{2} \]

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(2) 求 \(PA\) 与 \(PC\)

\(P\) 在直线 \(AB\) 上。因为切线在圆外，\(P\) 必在 \(AB\) 的延长线上，且由图形可知 \(B\) 介于 \(A\) 与 \(P\) 之间。故：

\[ PA = AB + PB = 8 + 1 = 9 \]

代入等积式：

\[ PC^{2} = PA \cdot PB = 9 \times 1 = 9 \]

\[ PC = 3 \quad (\text{取正值}) \]

验：\(0 < PC = 3 < PA = 9\)，且 \(PC > PB = 1\)，数值合理。✓

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(3) 四点共圆

证 \(\angle OMP = 90^{\circ}\)：

\(M\) 为弦 \(AB\) 中点，由垂径定理得 \(OM \perp AB\)。又 \(P\) 在直线 \(AB\) 上，故 \(MP\) 在 \(AB\) 所在直线上。\(\therefore\) \(OM \perp MP\)，即 \(\angle OMP = 90^{\circ}\)。

证 \(\angle OCP = 90^{\circ}\)：

\(OC\) 为 \(\odot O\) 的半径，\(PC\) 为过 \(C\) 的切线。由切线性质，半径垂直于过切点的切线：\(OC \perp PC\)，即 \(\angle OCP = 90^{\circ}\)。

共圆判定：

\(\angle OMP = \angle OCP = 90^{\circ}\)，且两角均以 \(OP\) 为对边。根据"一边对两等角则四点共圆"的判定定理（或：两直角三角形共享斜边 → 四顶点落在以斜边为直径的圆上），可得：

\(O\)、\(M\)、\(C\)、\(P\) 四点共圆，且 \(OP\) 为此圆的直径。

求外接圆半径：

在 \(\mathrm{Rt}\triangle OMP\) 中：

\[ OM = 3,\quad MP = MB + BP = 4 + 1 = 5 \]

\[ OP = \sqrt{OM^{2} + MP^{2}} = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{34} \]

外接圆半径 \(r = \dfrac{OP}{2} = \dfrac{\sqrt{34}}{2}\)。

答：四点共圆成立，外接圆半径为 \(\dfrac{\sqrt{34}}{2}\)。

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#	易错点	错在哪一步	怎么避免
①	弦切角找错——把 \(\angle PCA\) 等于 \(\angle CAB\) 而不是 \(\angle CBA\)	弦切角定理应用时	弦切角 = 所夹弧对的圆周角。弧 \(CA\) 夹在切线 \(PC\) 和弦 \(CA\) 之间，对的圆周角顶点在 \(B\)（弧的另一端），是 \(\angle CBA\)，不是 \(\angle CAB\)
②	把 \(P\) 放在 \(A\)、\(B\) 之间，算出 \(PA = 7\)	判断 \(P\) 的位置时	切线在圆外，\(P\) 必在 \(AB\) 的延长线上，不可能在 \(A\)、\(B\) 之间。验证：若 \(P\) 在 \(AB\) 上，则 \(OP < R = 5\)，无法从圆外作切线
③	(3)只说"两个直角所以共圆"，没指明它们对着同一条线段	四点共圆判定时	两个直角必须"对同一条线段"——这里就是对 \(OP\)。判定句必须写成"\(\angle OMP = \angle OCP = 90^{\circ}\)，且两角均以 \(OP\) 为对边"
④	(3)求半径时 \(MP\) 算成 \(4\)（只算了 \(MB\)，忘了加 \(BP\)）	勾股求 \(OP\) 时	\(MP = MB + BP = 4 + 1 = 5\)。画个数轴验证：\(M(0)\) → \(B(4)\) → \(P(5)\)

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能力维度	训练效果
弦切角→相似的自动转化	看到切线和割线，本能找弦切角等角→相似
等积式的灵活使用	\(PA \cdot PB = PC^{2}\)，已知三量中任意两个可求第三个
直角的多重来源识别	同一张图里直角可以来自垂径、切线、直径——需要逐一标注
四点共圆的结构提炼	两个直角共享斜边 → 共圆，这是比"对角互补"更隐蔽的判定方式
线段位置关系判断	\(P\) 在线段 \(AB\) 的延长线上还是中间？需要养成验证习惯

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变式 1（换位置——\(P\) 在 \(A\) 的外侧）

若 \(PB = 9\)（即 \(P\) 在 \(A\) 的外侧，\(A\) 在 \(B\)、\(P\) 之间，且 \(PA = 1\)），重新求解 (2)(3)。

简答： (2) \(PA = 1\)，\(PC = 3\)。(3) 四点共圆结论不变（两个直角的来源不变）。\(MP = MA + AP = 4 + 1 = 5\)，\(OM = 3\)，\(OP = \sqrt{34}\)，外接圆半径不变。无论 \(P\) 在哪一侧，四点共圆结论和外接圆半径均不变。

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变式 2（换数据——改变弦长）

若 \(AB = 6\)，圆心到 \(AB\) 的距离为 \(4\)，\(PB = 2\)。重新求解。

简答： \(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)。\(PA = 6 + 2 = 8\)。\(PC^{2} = 8 \times 2 = 16\)，\(PC = 4\)。(3) \(OM = 4\)，\(MB = 3\)，\(MP = 3 + 2 = 5\)，\(OP = \sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{41}\)，半径 = \(\sqrt{41}/2\)。

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变式 3（拓展——切线长定理）

在原题的基础上，从 \(P\) 向 \(\odot O\) 作另一条切线（不同于 \(PC\)），切点为 \(D\)。求证：\(PC = PD\)，并由此说明 \(PA \cdot PB = PD^{2}\)。

简答： 由切线长定理，从圆外一点 \(P\) 引圆的两条切线，切线长相等：\(PC = PD\)。又由 (1) 已证 \(PA \cdot PB = PC^{2}\)，代入 \(PC = PD\) 即得 \(PA \cdot PB = PD^{2}\)。这就是切割线定理的完整形式——从圆外一点 \(P\) 引割线 \(PAB\) 和切线 \(PD\)，有 \(PA \cdot PB = PD^{2}\)。

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1. 这道题里出现了三种"垂直"的来源：垂径定理（\(OM \perp AB\)）、切线性质（\(OC \perp CP\)）、以及 (3) 中隐含的 \(OP\) 为直径。你能在图上用不同颜色标出这三种垂直关系吗？它们各自"服务"了题目中的哪一问？
2. 如果题中没有给出 \(PB = 1\)，而是给了 \(PC = 4\)，你还能求出 \(PA\) 和 \(PB\) 吗？需要补充什么条件？（提示：\(PA - PB = AB\)，加上 \(PA \cdot PB = PC^{2}\)，两个方程两个未知数。）
3. 本题的 (3) 用"两个直角共斜边"判定四点共圆。回顾你之前做过的几何题，四点共圆还有哪些判定方式？在什么场景下"直角共斜边"是最高效的？

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命题设计逻辑

这道题的"多米诺骨牌"是这样排列的：弦 \(AB\) + 距离 \(3\) → 垂径定理 → \(R = 5\)，\(M\) 定位；切线 \(PC\) → 弦切角 → \(\angle PCA = \angle CBA\) → \(\triangle PAC \sim \triangle PCB\) → \(PA \cdot PB = PC^{2}\)。前三步像一条精确的流水线：每一步的输出恰好是下一步的输入。

数据的选择极其克制：\(AB = 8\)，\(OM = 3\)，\(PB = 1\)。三个数全部是整数，且构成 \(3\)-\(4\)-\(5\) 直角三角形（\(OM = 3\)，\(AM = 4\)，\(OA = 5\)）——这是整个图形里最隐蔽的"勾股骨架"。\(PB = 1\) 看似随意，但配合 \(PA \cdot PB = PC^{2}\) 得到 \(PC = 3\)，恰好与 \(OM = 3\) 相等——命题者在此埋了一个"数字回声"，让学生在做 (3) 时感到"这两个 \(3\) 出现在同一个勾股里，不是偶然"。

三问的递进逻辑是"打基础 → 验证 → 结构跃迁"。(1) 给你方法和工具（弦切角 → 相似 → 等积式）；(2) 让你用工具做一次数值验证，建立信心；(3) 突然从线段关系切换到圆结构——视角从"线"抬升到"形"。这是 25 题的经典节奏。

解法纵横

(3) 问——两种路径：

双直角法（本文采用）：分别证明 \(\angle OMP = 90^{\circ}\) 和 \(\angle OCP = 90^{\circ}\)，两者共享 \(OP\) → 四点共圆。优点：每步依据清晰（垂径/切线），不需要额外连线，思维负担低。这应该成为首选。

对角互补法（备选）：连接 \(MC\)。在四边形 \(OMCP\) 中，若 \(\angle OMC + \angle OPC = 180^{\circ}\) 则共圆。但 \(\angle OMC\) 和 \(\angle OPC\) 都不是直接可得的角——需要先算 \(\angle OMB\) 再加减，步骤多且容易出错。相比之下，双直角法"一眼看穿"。

在考场上，"双直角共享斜边"是最高效的四点共圆判定——因为它不需要算任何角度，只需要确认两个直角存在且对着同一线段。

思维误区深度剖析

(1)问最大的认知坑是弦切角找错边。学生看到切线和弦，本能地以为"弦切角 = 切线与弦的夹角 = 切点处的圆周角"。但弦切角究竟等于哪个圆周角，取决于弦的位置——弦 \(CA\) 夹在切线 \(PC\) 和弦 \(CA\) 之间，"夹"的弧是弧 \(CA\)，对的圆周角是 \(\angle CBA\)（\(B\) 在弧的另一端）。

深层原因：教材里弦切角定理的图通常是切线在下方、弦在切线上面，角度关系一目了然。但本题的切线是竖直的，弦是水平的，角度关系需要学生自己在图上"转一下"。这种"图形方向不标准"正是中考常见的反套路——定理懂了、图一转就认不出来，说明学的是"图"而不是"理"。

数学本质

这道题的"魂"是同一线段 \(OP\) 的双重身份：对 \(M\) 而言，\(OP\) 是直角 \(\triangle OMP\) 的斜边；对 \(C\) 而言，\(OP\) 是直角 \(\triangle OCP\) 的斜边。两个看似无关的三角形，因为共享同一条斜边，四个顶点全部落在一个以 \(OP\) 为直径的圆上。这不是运气——垂径定理和切线性质在圆的几何里天然产生直角，而圆里的直角天然倾向"共斜边 → 共圆"。圆本身就是直角的"制造机"和"收集器"。

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题型定位： 第 7 期，对标 25 题「圆 + 切线/圆周角 + 相似综合」。选择弦切角作为相似触发器，因为它是上海中考圆综合题最高频的入口——近 10 年 25 题中涉及切线时，弦切角 → 相似几乎是必考链。

四项学校风格模块：

• 审题钩子（§六）：标注垂径定理 → \(R = 5\)，弦切角 → 等角，切线 → 直角，三个"自动触发"的关系
• 分类清单（§九·第三层）：(3) 两个直角分别列出来源，再统一到"共斜边 → 共圆"
• 回验模块（§十）：\(PC\) 的值回验切线长小于割线全长、\(P\) 的位置验证在圆外
• 错因定位（§十一）：每条精确到"错在哪一步"

10维自检：

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