上海中考数学压轴题专项练习

• 建系：\(B(0, 0)\)，\(C(12, 0)\)，\(A(6, 8)\)（由 \(AB=10\)，\(BH=6\)，\(AH=\sqrt{100-36}=8\)）
• \(P(x, 0)\)，\(0 \leq x \leq 12\)
• \(AP^2 = (x-6)^2 + 8^2 = x^2 - 12x + 100\)
• \(AB = 10\)，\(BP = x\)，\(AP = \sqrt{x^2 - 12x + 100}\)
• \(AC = 10\)，\(CP = 12 - x\)，\(AP\) 同上
• 等腰判定：三边中任意两边相等

这是一道"双轮等腰分类"题——同一个动点 \(P\)，先后对两个不同的三角形（\(\triangle ABP\) 和 \(\triangle ACP\)）做等腰判定。两轮的方法论完全相同：三边选二 → 列方程 → 求解 → 验定义域。但因为两个三角形的三边成分不同（一个含 \(BP\) 不含 \(CP\)，另一个含 \(CP\) 不含 \(BP\)），解出来的 \(x\) 值也不同。

对称性提示：\(\triangle ABP\) 和 \(\triangle ACP\) 关于 \(AH\) 对称（将 \(B \leftrightarrow C\)，\(BP \leftrightarrow CP\)，\(x \leftrightarrow 12-x\)）。所以第(3)问的答案可以通过第(2)问的答案做"对称变换" \(x \to 12-x\) 得到。但不要跳——先老老实实做一遍(3)，做完后回头验证这个对称关系，是对分类讨论的一次自我复查。

基础题1：等腰三角形 \(ABC\) 中，\(AB=AC=10\)，\(BC=12\)。求底边上的高和底边中点坐标。

设 \(B(0,0)\)，\(C(12,0)\)。中点 \(H(6,0)\)。\(AH = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\)。所以 \(A(6,8)\)。

基础题2：已知 \(P(2,0)\)，\(A(6,8)\)，\(B(0,0)\)。求 \(AP\)、\(BP\)、\(AB\)，并判断 \(\triangle ABP\) 是否为等腰三角形。

\(BP = 2\)，\(AB = 10\)，\(AP = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)。三边各不相等 → 非等腰。

基础题3：解方程 \(\sqrt{x^2 - 12x + 100} = x\)。

两边平方：\(x^2 - 12x + 100 = x^2 \Rightarrow 12x = 100 \Rightarrow x = \dfrac{25}{3}\)。

第一层：

(1) 以 \(B\) 为原点建系，写出 \(A\) 和 \(P\) 的坐标，用距离公式。

(2) \(\triangle ABP\) 三边：\(AB=10\)，\(BP=x\)，\(AP\)。逐一令两边相等。

(3) \(\triangle ACP\) 三边：\(AC=10\)，\(CP=12-x\)，\(AP\)。同样的方法再做一轮。

第二层：

(1) \(A(6,8)\)，\(P(x,0)\) → \(AP^2 = (x-6)^2 + 64\)。

(2) 三种情况：

\(AB=BP: 10=x\)

\(AB=AP: 100=x^2-12x+100\)

\(BP=AP: x^2=x^2-12x+100\)

(3) 三种情况：

\(AC=CP: 10=12-x\)

\(AC=AP: 100=x^2-12x+100\)

\(CP=AP: (12-x)^2=x^2-12x+100\)

第三层：

(2) \(x=0\)，\(\frac{25}{3}\)，\(10\)，\(12\)。（去掉退化解 \(x=0,12\) 后：\(x=\frac{25}{3}\) 和 \(x=10\)。）

(3) \(x=2\)，\(\frac{11}{3}\)，\(0\)，\(12\)。（去掉退化解后：\(x=2\) 和 \(x=\frac{11}{3}\)。）

(1) \(AP^2\) 的表达式

建立坐标系：\(B(0, 0)\)，\(C(12, 0)\)。等腰 \(\triangle ABC\) 中，底边中点 \(H(6, 0)\)，\(AH \perp BC\)。

\[ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \]

\[ \therefore A(6, 8) \]

\(P(x, 0)\)（\(0 \leq x \leq 12\)）。

\[ AP^2 = (x-6)^2 + (0-8)^2 = (x-6)^2 + 64 = x^2 - 12x + 100 \]

(2) \(\triangle ABP\) 为等腰三角形

三边：\(AB = 10\)，\(BP = x\)，\(AP = \sqrt{x^2 - 12x + 100}\)。

情况①：\(AB = BP\)

\[ 10 = x \;\Rightarrow\; x = 10 \]

\(x \in [0, 12]\) ✓。此时 \(P\) 在 \(C\) 左侧 \(2\) 处。

情况②：\(AB = AP\)

\[ 100 = x^2 - 12x + 100 \;\Rightarrow\; x^2 - 12x = 0 \;\Rightarrow\; x(x-12) = 0 \]

\(x = 0\)（\(P\) 与 \(B\) 重合，\(\triangle ABP\) 退化为线段）或 \(x = 12\)（\(P\) 与 \(C\) 重合）。两解均在定义域内。

情况③：\(BP = AP\)

\[ x = \sqrt{x^2 - 12x + 100} \;\Rightarrow\; x^2 = x^2 - 12x + 100 \;\Rightarrow\; 12x = 100 \;\Rightarrow\; x = \frac{25}{3} \approx 8.33 \]

\(x \in [0, 12]\) ✓。

\[ \boxed{BP = 0,\ \frac{25}{3},\ 10,\ 12} \]

（若只求非退化的等腰三角形，则 \(BP = \dfrac{25}{3}\) 和 \(BP = 10\)。）

(3) \(\triangle ACP\) 为等腰三角形

三边：\(AC = 10\)，\(CP = 12 - x\)，\(AP = \sqrt{x^2 - 12x + 100}\)。

情况①：\(AC = CP\)

\[ 10 = 12 - x \;\Rightarrow\; x = 2 \]

✓。

情况②：\(AC = AP\)

\[ 100 = x^2 - 12x + 100 \;\Rightarrow\; x(x-12) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0\ \text{或}\ 12 \]

（退化解，\(P\) 与 \(B\) 或 \(C\) 重合。）

情况③：\(CP = AP\)

\[ 12 - x = \sqrt{x^2 - 12x + 100} \]

\[ (12-x)^2 = x^2 - 12x + 100 \;\Rightarrow\; 144 - 24x + x^2 = x^2 - 12x + 100 \]

\[ 44 = 12x \;\Rightarrow\; x = \frac{11}{3} \approx 3.67 \]

✓。

\[ \boxed{BP = 0,\ 2,\ \frac{11}{3},\ 12} \]

（非退化解：\(BP = 2\) 和 \(BP = \dfrac{11}{3}\)。）

对称验证：将 (2) 的非退化解 \(x_1 = \frac{25}{3}\)、\(x_2 = 10\) 做 \(x \to 12-x\)：

\[ 12 - \frac{25}{3} = \frac{11}{3},\quad 12 - 10 = 2 \]

恰好是 (3) 的非退化解 \(x = \frac{11}{3}\) 和 \(x = 2\)。✓

易错点	原因	避免方法
忘记建系，凭直觉猜 \(AP\)	\(P\) 不在特殊位置时无法心算距离	统一建系，用距离公式
(2)(3) 只用两种等腰情况	\(\triangle\) 三边选二 → 三种，不是两种	对着三边列表逐一检查
解出 \(x=0,12\) 觉得"没用"就扔掉	边界解在数学上是有效解，是否保留取决于题意	先全列出来，再按题目要求（是否排除退化）统一处理
(3) 的 \(CP=AP\) 忘了平方展开验证	平方两边可能引入增根	平方后验算，或代回原不等式

• 坐标系在等腰三角形中的应用：三线合一 → 中点 + 高 → 顶点坐标
• 距离公式与勾股定理：\(AP^2 = (x-6)^2 + 64\)
• 等腰分类讨论：三边 → 三种方程 → 逐一求解 → 逐一验域
• 对称性检验：做完两轮后用对称变换自检，训练"做完回头看一眼"的习惯

变式1：若 \(AB=AC=13\)，\(BC=10\)，其余条件不变。求 (2)(3) 的所有 \(BP\) 值。

变式2：同时考虑 \(\triangle ABP\) 和 \(\triangle ACP\) 都等腰。求同时满足两个三角形等腰的 \(x\) 值，并说明这个 \(x\) 对应的几何意义。

变式3（拓展）：点 \(P\) 在 \(BC\) 的延长线上（\(x > 12\)），重新求解 (2)。注意此时 \(CP = x - 12\)（而非 \(12-x\)）。

1. 为什么 (2) 和 (3) 的解互为 \(x \leftrightarrow 12-x\) 的对称？这个对称关系的几何根源是什么？
2. 退化的情况（\(x=0,12\)）中，\(\triangle ABP\) 或 \(\triangle ACP\) 退化为线段。这时"等腰三角形"的说法还成立吗？数学上如何处理这种极端情况？
3. 非退化解共有 \(x = \frac{25}{3}, 10, 2, \frac{11}{3}\) 四个。在数轴上画出这四个点相对于 \(BC\) 的位置，观察它们是否对称分布。

命题设计逻辑

这道题的"母结构"是一个等腰三角形 \(10-10-12\)——选择这个尺寸是因为高 \(8\) 恰好是整数，\(A(6,8)\) 的坐标干净。如果换成 \(5-5-6\)，高为 \(4\)，所有非退化解都会出现分数——退化解的简洁性被牺牲了。\(10-10-12\) 是等腰三角形中"整数高"和"底边偶数"的平衡点。

第(2)和第(3)问的设计利用了对称对偶：\(\triangle ABP\) 和 \(\triangle ACP\) 关于 \(AH\) 对称。命题者完全可以只出一轮（比如只问 \(\triangle ABP\)），但两轮对出可以让学生在做完(3)后自己发现对称关系——这种"做完后恍然大悟"的体验，比直接告诉他"因为对称所以答案有关系"要深刻得多。

解法纵横

这道题的两种解题策略体现了不同的数学成熟度：

枚举法（稳但慢）：每轮三种情况，逐一列方程、解方程、验定义域。六种情况写完，大约需要 10 分钟。优点是万无一失，缺点是工作量重复。

对称法（快但要求高）：做完 (2) 后观察三角形结构，认识到 \(\triangle ACP\) 不过是把 \(B\) 换成 \(C\)、\(x\) 换成 \(12-x\) 的"镜像问题"。直接将 (2) 的答案做 \(x \to 12-x\) 即可得 (3) 的答案。全过程 2 分钟。但前提是你确信对称性在此处严格成立——这需要对几何结构有穿透性的理解。

真实考场上，建议先用枚举法做 (2)，再尝试用对称法做 (3) 并用枚举法交叉验证。这样既保证正确率，又不失速度。

思维误区深度剖析

"BP=AP 就是中线"——这是混淆了等腰三角形内部的不同性质。在 \(\triangle ABP\) 中，\(BP=AP\) 意味着 \(\triangle ABP\) 以 \(A\) 和 \(B\) 为底角的顶点，\(P\) 为顶点。这不等于 \(P\) 是 \(AB\) 的中垂线与 \(BC\) 的交点（那对应的是 \(PA=PB\)，即情况③）。很多学生把"等腰"等同于"顶角的平分线/中线/高"，忘记了等腰首先是一个边的关系，其次才是角的推论。

更深的认知问题：学生习惯了"等腰三角形 = 两边相等，第三边不同"的直觉，但这道题恰好允许等边（当 \(P\) 恰好使三边都相等时，则是等边三角形，同时也是等腰）。\(x=0\) 时的"退化等腰"更是一个哲学问题——一根线段算等腰吗？这些都是数学定义边界上的"灰色地带"，需要清晰的逻辑而非模糊的直觉。

数学本质

这道题表面考勾股定理和等腰分类，深层考的是对称性与参数化。把底边上的动点 \(P\) 参数化为 \(x\)，把角度/位置的定性几何问题转化为 \(x\) 的定量代数方程——这是笛卡尔坐标系的革命性思维。而"双轮对偶"的设计（\(\triangle ABP\) vs \(\triangle ACP\)）在考察你能否看到结构对称——看到对称，就能用一半的力气做两倍的事。这在数学和物理中都是一个核心的元能力：在冗余中识别相似，在相似中提取不变量。

对标新轮换表第 1 期「几何动点·等腰分类+勾股」。全程八年级知识。选择 \(10-10-12\) 等腰三角形使高为 \(8\)（整数），所有坐标为整数。双轮等腰分类是对称对偶设计：做完 (2) 后用 \(x \to 12-x\) 即可得 (3)，但要求学生自己发现这个关系。非退化解共四个，对称分布在 \([0,12]\) 区间上。