A、B 两地之间的相遇与变速——一次函数在行程问题中的完整建模，从匀速到故障变速，再到时间比较。
\(A\)、\(B\) 两地相距 \(60\ \mathrm{km}\)。甲从 \(A\) 地出发前往 \(B\) 地，出发时速度为 \(12\ \mathrm{km/h}\)。乙同时从 \(B\) 地出发前往 \(A\) 地，速度为 \(12\ \mathrm{km/h}\)。设出发后的时间为 \(t\)（单位：小时），甲距 \(A\) 地的距离为 \(y_1\ \mathrm{km}\)，乙距 \(A\) 地的距离为 \(y_2\ \mathrm{km}\)。
（1）分别写出 \(y_1\) 关于 \(t\)、\(y_2\) 关于 \(t\) 的函数表达式，并注明 \(t\) 的取值范围。
（2）不考虑任何意外，两人出发后多久相遇？相遇地点距 \(A\) 地多远？
（3）实际上，甲出发 \(1\) 小时后自行车出现故障，此后速度降为 \(6\ \mathrm{km/h}\)。乙的速度始终不变。在此情况下：
（ⅰ）两人实际在出发后多久相遇？此时距 \(A\) 地多远？
（ⅱ）甲实际到达 \(B\) 地的时间，比原计划晚了多少小时？
行程问题用一次函数建模的关键动作：把"距离"写成"时间的一次函数"。甲的距 A 距离 = 速度 × 时间（往 A→B 方向，距离递增）；乙的距 A 距离 = 总路程 - 速度 × 时间（往 B→A 方向，距离递减）。
第(2)问是标准的一次方程求解——两条直线的交点。第(3)问引入变速后，甲的距 A 函数变成了分段函数：\(t \leq 1\) 时斜率 \(12\)，\(t > 1\) 时斜率 \(6\)。两条线都是递减/递增的直线，但甲这条线在 \(t=1\) 处"折"了一下（斜率变小），导致与乙的交点向右下方移动——即相遇更晚、距 A 更近。
第(3)问还要比较时间：原计划到 B 只需 \(5\ \mathrm{h}\)，故障后要 \(9\ \mathrm{h}\)——多出来的 \(4\ \mathrm{h}\) 中，故障低速直接导致后半段耗时翻倍。这个计算本质上在说：前面少走的速度，后面要加倍的时间来还。
基础题1：甲从 A 出发，以 \(12\ \mathrm{km/h}\) 向 B 行进。写出 t 小时后甲距 A 的距离。
\(y = 12t\)，\(0 \leq t \leq 5\)（因为 \(60 \div 12 = 5\)）。
基础题2：方程 \(12t = 60 - 12t\) 的解。
\(24t = 60 \Rightarrow t = 2.5\)。这是第(2)问的核心。
基础题3：甲先以 \(12\ \mathrm{km/h}\) 走 1 小时，然后以 \(6\ \mathrm{km/h}\) 继续。写出 t 小时后（\(t > 1\)）甲距 A 的距离。
已走 \(12\ \mathrm{km}\)。之后：\(y = 12 + 6(t-1) = 6t + 6\)。
第一层：
(1) 甲：距离 = 速度 × 时间。乙：初始距离 60 km，距离 A 递减。
(2) 令 \(y_1 = y_2\)，解方程。
(3) 甲的函数拆成两段。相遇时一定在 \(t > 1\) 段（为什么？因为 \(t=1\) 时甲走了 12 km，乙走了 12 km，两人相距 36 km），用分段函数与乙联立。
第二层：
(1) \(y_1 = 12t\)（\(0 \leq t \leq 5\)），\(y_2 = 60 - 12t\)（\(0 \leq t \leq 5\)）。
(2) \(12t = 60 - 12t \Rightarrow t = 2.5\)，距 A = 30 km。
(3) \(t > 1\)：甲 \(y_1 = 6t + 6\)。令 \(6t + 6 = 60 - 12t\)。
第三层：
(3) \(t = 3\)，距 A = 24 km。甲实际到 B：\(6t + 6 = 60 \Rightarrow t = 9\)，原计划 5 h，晚 4 h。
甲：\(y_1 = 12t\)，定义域 \(0 \leq t \leq 5\)（\(5 = 60 \div 12\)）。
乙：\(y_2 = 60 - 12t\)，定义域 \(0 \leq t \leq 5\)。
令 \(y_1 = y_2\)：
\[ 12t = 60 - 12t \;\Rightarrow\; 24t = 60 \;\Rightarrow\; t = 2.5 \]
距 \(A\) 的距离：\(y_1(2.5) = 12 \times 2.5 = 30\ \mathrm{km}\)。
\[ \boxed{t = 2.5\ \mathrm{h},\ \text{距}\ A\ 30\ \mathrm{km}} \]
甲故障发生在 \(t = 1\)。此时甲已走 \(12\ \mathrm{km}\)，乙已走 \(12\ \mathrm{km}\)（从 B 出发），两人相距 \(60 - 12 - 12 = 36\ \mathrm{km}\)。
（ⅰ） \(t > 1\) 时，甲的函数变为：
\[ y_1 = 12 + 6(t-1) = 6t + 6 \]
乙的函数不变：
\[ y_2 = 60 - 12t \]
令相等：
\[ 6t + 6 = 60 - 12t \;\Rightarrow\; 18t = 54 \;\Rightarrow\; t = 3 \]
\[ y_1(3) = 6 \times 3 + 6 = 24\ \mathrm{km} \]
\[ \boxed{t = 3\ \mathrm{h},\ \text{距}\ A\ 24\ \mathrm{km}} \]
（ⅱ） 甲原计划到 \(B\)：\(t = 60 \div 12 = 5\ \mathrm{h}\)。
甲实际到 \(B\)：令 \(6t + 6 = 60\) \(\Rightarrow\) \(6t = 54\) \(\Rightarrow\) \(t = 9\ \mathrm{h}\)。
\[ \text{晚到} = 9 - 5 = 4\ \mathrm{h} \]
\[ \boxed{\text{晚}\ 4\ \text{小时}} \]
| 易错点 | 原因 | 避免方法 |
|---|---|---|
| 乙的函数写成 \(y_2 = 12t\) | 忘了他从 B 出发，距 A 越来越近 | 时刻记住"距 A 的距离"是 y 的定义 |
| (3) 相遇直接用原函数 \(12t\) | 忘了甲在 \(t=1\) 后换了速度 | 先判断相遇是否在 \(t>1\)：如果是，必须用变速后的函数 |
| 判断 \(t\) 是否在故障后：直接代入验证 | 相遇方程解出 \(t=3>1\) → 用的是正确的变速函数 | 解出 t 后回查是否在对应分段内 |
| 晚到时间直接拿 \(9\) 当答案 | 问的是"比原计划晚多久"，不是"几点到" | 减法：\(9-5=4\) |
变式1：若乙出发时比甲晚 \(0.5\ \mathrm{h}\)，其余条件同第(2)问。求相遇时间和位置。
变式2：若甲故障后没有减速到 \(6\ \mathrm{km/h}\)，而是停留修理了 \(20\) 分钟再以原速出发。求新的相遇时间和甲晚到多久。
变式3（拓展）：若甲故障后速度降为 \(v\ \mathrm{km/h}\)（\(0 < v < 12\)），问 \(v\) 至少为多少时，甲才能在乙到达 \(A\) 之前与乙相遇？
| 小问 | 分值 | 评分要点 |
|---|---|---|
| (1) 双函数 | 3分 | 甲函数含定义域(1分)，乙函数含定义域(1分)，两者均正确(1分) |
| (2) 正常相遇 | 3分 | 列方程(1分)，解 \(t=2.5\)(1分)，距离 \(30\ \mathrm{km}\)(1分) |
| (3)(ⅰ) 故障后相遇 | 4分 | 写出变速后甲的表达式(2分)，解方程得 \(t=3\), \(y=24\)(2分) |
| (3)(ⅱ) 晚到时间 | 2分 | 求计划时间(1分)，求实际时间并做差(1分) |
本题选择"甲乙同速"（均为 \(12\ \mathrm{km/h}\)）是有意为之的。如果速度不同，相遇点偏离中点很正常；但同速时，正常情况下相遇点应该恰好在 \(AB\) 的中点（\(t=2.5\)，距 \(A\) 30 km）。这个"对称性"让故障造成的偏移（相遇推迟 \(0.5\ \mathrm{h}\)、位置向 \(A\) 偏移 \(6\ \mathrm{km}\)）显得格外清晰——学生一眼就能看出"故障让甲少走了"。
数字 \(60\ \mathrm{km}\) 和 \(12\ \mathrm{km/h}\) 的搭配使原计划 \(5\ \mathrm{h}\) 到终点，\(9\ \mathrm{h}\) 的故障后时间也很好记。故障后速度砍半（\(6\ \mathrm{km/h}\)），使后半段耗时加倍——这种"减半→加倍"的关系是刻意保留的，方便学生做合理性验证。
第(3)问的相遇方程 \(6t+6 = 60-12t\) 可以换一种思路解：追赶视角。
在 \(t=1\) 时两人相距 \(36\ \mathrm{km}\)。此后甲的相对速度（追赶乙）是 \((12+6) = 18\ \mathrm{km/h}\)（两人相向而行的速度之和）。\(36 \div 18 = 2\ \mathrm{h}\)，所以从 \(t=1\) 开始 \(2\ \mathrm{h}\) 后相遇，即 \(t=3\)。
这条路比"建分段函数→联立方程"快得多，但要求学生把"分段函数问题"翻译成"相对运动问题"。这种翻译能力是一种高级技能——把复杂表象还原为简单物理模型。
"故障后肯定比原计划相遇更晚"——这句话本身没错，但学生容易忽略一个前提：故障只影响甲、不影响乙。如果故障使甲减速，相向而行的合速度 \((v_{\text{甲}}+v_{\text{乙}})\) 确实变小了，所以相遇推迟。但如果是乙出故障，因为乙从对面来，乙减速 → 甲乙之间相对接近速度减小 → 同样推迟相遇。不论谁故障，两人相向而行的"合速"降低是根本原因。
很多学生做题时只盯着方程，不思考物理直觉。如果能先"预估"一下相遇应该比 \(2.5\) 晚、应该在距 \(A\) 更近（< \(30\)）的位置，解完 \(t=3, y=24\) 后就能快速自检——"3 > 2.5 ✓，24 < 30 ✓"。
这道题表面考"一次函数+行程"，深层考的是线性关系的叠加与扰动。两人正常的运动由两条对称的直线描述，交点在中点。故障在 \(t=1\) 处给甲的直线"打折"（斜率从 \(12\) 降到 \(6\)），整条直线的后半段被压低。这种"分段线性"的思维，到了高中会演化成"分段函数"的正式概念，到了大学就是"样条函数"的雏形。本质上，这道题在让学生体验"一个系统在某个时刻受扰动后的行为变化"——这是动态系统思维的最初萌芽。
对标新轮换表第 1 期「情景综合·一次函数+行程」。全程八年级知识。选择同速 \(12\ \mathrm{km/h}\) 制造对称基线，使故障的影响清晰可见。甲故障后速度砍半制造"加倍"的对比效果。三问从匀速到变速，从相遇时间到时间差，逐层加大建模复杂度。