篱笆围花坛——从一元二次方程求解到二次函数配方法求最值，中间藏着一个"定义域过滤无效解"的坎。
学校计划用总长度为 \(36\ \mathrm{m}\) 的篱笆，一面靠墙，围成一个矩形花坛。设垂直于墙的两边长度均为 \(x\ \mathrm{m}\)，平行于墙的一边长为 \((36 - 2x)\ \mathrm{m}\)。已知可利用的墙的长度为 \(20\ \mathrm{m}\)（即平行于墙的边不能超过墙的长度）。
图：三面篱笆一面墙。约束条件：\(x > 0\) 且 \(36 - 2x > 0\) 且 \(36 - 2x \leq 20\)。
（1）写出花坛面积 \(S\) 关于 \(x\) 的函数表达式，并写出 \(x\) 的取值范围。
（2）若要使花坛面积为 \(154\ \mathrm{m}^2\)，求 \(x\) 的值。
（3）花坛能围成的最大面积是多少？此时 \(x\) 取何值？
这道题看起来是"列个二次函数求最值"的模板题，但真正的区分度在定义域上。
第(1)问建立函数不难，列 \(S = -2x^2+36x\) 是标准操作。易被忽略的是约束条件：墙长 20m → 平行边 \(36-2x \leq 20\) → \(x \geq 8\)。这个条件在第(1)问"可有可无"，但到了第(2)问就变成筛子——解出来两根，一根不满足 \(x \geq 8\) 直接作废。
第(3)问的陷阱更隐蔽：如果定义域卡在顶点左边（比如墙长只有 10m，导致 \(x \geq 13\)），顶点 \(x=9\) 不在定义域内，最大值就不能用顶点公式直接写，而要在定义域端点取。这道题设计的数据恰好让顶点 \(x=9\) 落在定义域 \([8,18)\) 内，所以可以直接写。但思维上必须走"先判断顶点是否在定义域内"这一步——这是区分"背公式"和"真理解"的关键。
基础题1：二次函数 \(y = -2x^2 + 36x\)，用配方法化为顶点式。
\[ y = -2(x^2 - 18x) = -2[(x-9)^2 - 81] = -2(x-9)^2 + 162 \]
顶点 \((9, 162)\)。
基础题2：解方程 \(-2x^2 + 36x = 154\)。
\[ -2x^2 + 36x - 154 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 18x + 77 = 0 \]
\[ (x-7)(x-11) = 0 \;\Rightarrow\; x = 7\ \text{或}\ 11 \]
基础题3：已知函数 \(f(x) = -2x^2 + 36x\) 的定义域为 \([12, 15]\)，求最大值。
顶点 \(x=9\) 不在定义域内。在 \([12, 15]\) 上函数递减，最大值在 \(x=12\) 处：\(f(12) = -2 \cdot 144 + 432 = 144\)。
第一层：
(1) 矩形面积 = 长 × 宽 = \(x \times (36-2x)\)。定义域注意三个条件：两边都为正 + 平行边不超过墙长。
(2) 令面积 = 154，解二次方程，用定义域筛掉无效解。
(3) 配方法求顶点，判断顶点是否在定义域内。
第二层：
(1) \(S = -2x^2 + 36x\)，\(x \in [8, 18)\)。
(2) \(x^2 - 18x + 77 = 0\) → \((x-7)(x-11) = 0\)。\(x=7\) 不在 \([8,18)\) 内 → 只有 \(x=11\)。
(3) \(S = -2(x-9)^2 + 162\)，顶点 \(x=9 \in [8,18)\) → 可直接取最大值。
第三层：
(1) \(S(x) = -2x^2 + 36x\)，\(8 \leq x < 18\)。
(2) \(x = 11\) 唯一解。
(3) 最大面积 \(162\ \mathrm{m}^2\)，此时 \(x = 9\)（三边分别为 9, 9, 18）。
\[ S(x) = x \cdot (36 - 2x) = -2x^2 + 36x \]
约束条件：
\[ \begin{cases} x > 0 \\ 36 - 2x > 0 \;\Rightarrow\; x < 18 \\ 36 - 2x \leq 20 \;\Rightarrow\; x \geq 8 \end{cases} \;\Rightarrow\; \boxed{8 \leq x < 18} \]
\[ -2x^2 + 36x = 154 \;\Rightarrow\; 2x^2 - 36x + 154 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 18x + 77 = 0 \]
\[ (x-7)(x-11) = 0 \;\Rightarrow\; x = 7\ \text{或}\ 11 \]
\(x=7\)：不满足 \(x \geq 8\) → 舍去。\(x=11\)：\(11 \in [8, 18)\) ✓。
此时平行边：\(36 - 2 \times 11 = 14 \leq 20\) ✓。
\[ \boxed{x = 11} \]
配方法：
\[ S(x) = -2x^2 + 36x = -2(x^2 - 18x) = -2[(x-9)^2 - 81] = -2(x-9)^2 + 162 \]
顶点为 \((9, 162)\)，开口向下。\(x = 9 \in [8, 18)\)——顶点在定义域内。
\[ \boxed{S_{\max} = 162\ \mathrm{m}^2,\ \text{此时}\ x = 9} \]
此时三边：垂直于墙各 \(9\ \mathrm{m}\)，平行于墙 \(18\ \mathrm{m}\)。\(18 \leq 20\) ✓。
| 易错点 | 原因 | 避免方法 |
|---|---|---|
| 面积写成 \(S = x \cdot 36\) | 误以为平行边就是篱笆总长 | 三面用篱笆 = 两面垂直 + 一面平行 = \(x+x+(36-2x)\) |
| 忘记墙长约束 \(36-2x \leq 20\) | 题目给了墙长 20m 但没有明确写"用足" | 墙是已有的，靠墙的边不能比墙长，必须加不等式 |
| (2) 拎着 \(x=7\) 就写答案 | 解完方程不回头验定义域 | 每解一个方程，对照一遍 \(x \in [8,18)\) |
| (3) 直接写顶点就是答案 | 没判断顶点是否在定义域内 | 先判断 \(x=9 \stackrel{?}{\in} [8,18)\)，确认后再写 |
变式1：若墙长只有 \(10\ \mathrm{m}\)（而非 \(20\ \mathrm{m}\)），重新求解 (2)(3)。注意顶点 \(x=9\) 对应的平行边 \(18>10\) 不可行，最大值会"卡"在定义域边界。
变式2：不靠墙，用 \(36\ \mathrm{m}\) 篱笆围一个四边独立的矩形。求最大面积，并与本题结果比较。哪个更大？为什么？
变式3：把"一面靠墙"改为"两面靠墙"（花坛在墙角），用 \(36\ \mathrm{m}\) 篱笆围另两面。写出面积函数并求最值。
| 小问 | 分值 | 评分要点 |
|---|---|---|
| (1) 函数与定义域 | 4分 | 列函数(2分)，完整写出三条约束并取交集(2分) |
| (2) 求 \(x\) | 4分 | 列方程(1分)，解两根(1分)，筛去 \(x=7\) 并说明理由(1分)，确认 \(x=11\) 的平行边不超过墙长(1分) |
| (3) 求最大面积 | 4分 | 配方法或其等价方法(1分)，得顶点(1分)，判断顶点在定义域内(1分)，写最终答案(1分) |
这道题最妙的数字是 \(36\) 和 \(20\)。\(36\) 拆成 \(2x + (36-2x)\)，使得面积函数 \(S = -2x^2+36x\) 的顶点在 \(x=9\)。而墙长 \(20\) 推出的约束 \(x \geq 8\) 恰好让顶点 \(x=9\) 落在定义域内——顶点可用，配方法一步到位。同时方程 \(S=154\) 的两根 \(7\) 和 \(11\) 恰好分布在 \(8\) 的两侧——一废一存，精准筛分。
这三个数字的关系是推敲出来的：(1) 墙长必须 \(>18\)（否则定义域直接排掉顶点），但不能太大（否则筛子太松，两根全过）；(2) 面积 \(154\) 的选择：对应两根离 \(8\) 足够远，避免"7.9 到底算不算"的争议。选 \(154 = 36 \times 9 - 2 \times 81 - 8 = 162 - 8\)，"离顶点差 8"的对应两根为 \(9 \pm 2 = 7, 11\)，恰好一左一右跨过 \(8\)。
这道题第(2)问有两套求解逻辑：
代数法（标准路）：解方程 → 两根 → 对照定义域筛。优点是不会漏、不会错。缺点是如果忘了定义域这根"弦"，\(x=7\) 就混进去了。
几何法（快速路）：想清楚 \(S=154\) 对应的函数值比最大值 \(162\) 少 \(8\) → 配方法已得 \(S=162-2(x-9)^2\) → 令 \(S=154\) 得 \((x-9)^2=4\) → \(x=7,11\)。这条路不但快，而且直接看出两根对称分布在顶点两侧。但前提是(1)已经配好了方，否则不能走。
在考场策略上，如果(3)已经做了配方，(2)就可以借用。这也是三问递进的另一个好处——前面的成果可以"偷"到后面用。
"解出来就是答案"——这是方程思维对应用题的典型入侵。学生学了七年数学，习惯了"解完方程 = 做完题"。但应用题多了一层：方程的解必须落在实际情景区间内。\(x=7\) 在代数上无辜，在几何上"有罪"——它对应的平行边 \(22\ \mathrm{m}\) 超出了墙的实际长度。这不是计算错误，是"翻译漏了一步"。
从认知角度看，这是"从数学符号世界回到物理世界"的环节脱节。中档生往往做完方程就翻篇，高分生会习惯性地回头问一句"这个解在现实中有意义吗？"
这道题表面考"二次函数求最值"，深层考的是约束条件下的优化——这是运筹学和工程优化的最小原型。墙长的存在把一个"对称的二次函数"变成了"截断的二次函数"——如果墙再短一点，最优解就不再是顶点，而是被约束"推"到了边界。学生通过这道题接触的是"边界解"（corner solution）这个概念，虽然不说这个名字，但思维已经有了。
对标新轮换表第 1 期「应用综合·一元二次方程+最值」。全程八年级知识。三问递进暗藏检验链：(1) 建立函数和定义域 → (2) 在定义域上解方程（检验定义域意识）→ (3) 判断顶点是否在定义域内（防止机械套用）。数字 \(36, 20, 154\) 经过推敲，使两根对称分布在约束边界两侧，实现精准筛分。