反比例函数图像上的动点与几何构造——从面积不变量出发，延伸到等腰三角形的分类讨论。
如图，点 \(P\) 在反比例函数 \(y = \dfrac{12}{x}\;(x > 0)\) 的图像上运动。过点 \(P\) 作 \(PA \perp x\) 轴于点 \(A\)，作 \(PB \perp y\) 轴于点 \(B\)。已知当 \(P\) 的横坐标为 \(4\) 时，\(P\) 的纵坐标为 \(3\)。
图：\(P\) 在 \(y=\frac{12}{x}\) 上，\(PA\perp x\) 轴，\(PB\perp y\) 轴。矩形 \(OAPB\) 的对角线为 \(AB\)。
（1）设 \(P\) 的坐标为 \((x_P, y_P)\)。求证：无论 \(P\) 在图像上如何移动，矩形 \(OAPB\) 的面积始终为一个定值，并求出这个定值。
（2）当 \(P\) 的横坐标为 \(4\) 时（即图中的位置），求线段 \(AB\) 的长度。
（3）在 \(x\) 轴上找一点 \(C\)，使得 \(\triangle PBC\) 为等腰三角形。求出所有满足条件的 \(C\) 点坐标。（\(P\) 仍取横坐标为 \(4\) 的位置）
这道题把反比例函数和几何分类讨论串在一起。拿到题先看清楚三问的关系：
第(1)问是"揭开谜底"——面积 \(= x_P \cdot y_P = 12\) 恰好是反比例函数中 \(k\) 的值。这不是巧合：反比例函数图像上任意一点与坐标轴围成的矩形，面积总是 \(|k|\)。这个"不变量"是反比例函数最核心的几何意义。
第(2)问是坐标固定后的直接计算——\(P(4,3)\)，求 \(AB\)。弦外之音是：\(AB\) 的长度也可以用 \(x_P\) 和 \(y_P\) 表示，而 \(x_P \cdot y_P\) 已知（=12）。这为第(3)问的方程求解做了"心理铺垫"。
第(3)问是真正的压轴：在 \(x\) 轴上找点使三角形等腰。关键动作是三边选二，逐一列出方程。每列一个方程求解后，还要回验答案是否在 \(x\) 轴上（即纵坐标为 0）。这是一个"系统性"的考验——少考虑一种情况就丢分。
基础题1：已知 \(P(4,3)\)，\(A(4,0)\)，\(B(0,3)\)，求 \(PA\)、\(PB\)、\(AB\) 的长度。
\[ PA = 3 - 0 = 3,\quad PB = 4 - 0 = 4,\quad AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \]
基础题2：解方程 \(\sqrt{(c-4)^2 + 9} = \sqrt{c^2 + 9}\)。
\[ (c-4)^2 + 9 = c^2 + 9 \;\Rightarrow\; c^2 - 8c + 16 = c^2 \;\Rightarrow\; c = 2 \]
基础题3：已知 \(\triangle XYZ\) 中，\(XY=5\)，\(XZ=\sqrt{(t-3)^2+16}\)，\(YZ=|t-8|\)。若 \(\triangle XYZ\) 为等腰三角形，写出所有可能的方程（不求解）。
三种情况：\(XY = XZ\)、\(XY = YZ\)、\(XZ = YZ\)。关键是不漏任何一种。
第一层：
(1) 矩形 \(OAPB\) 的面积 = 长 × 宽 = \(x_P \times y_P\)。用反比例函数的定义替换 \(y_P\)。
(2) \(AB\) 是矩形的对角线，直接用勾股定理。
(3) 设 \(C(c, 0)\)，写出 \(\triangle PBC\) 三条边的表达式，令两两相等，共三种情况。
第二层：
(1) \(S = x \cdot \dfrac{12}{x} = 12\)。
(2) \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)。
(3) \(PB = 4\)（水平），\(PC = \sqrt{(c-4)^2 + 3^2}\)，\(BC = \sqrt{c^2 + 3^2}\)。三种方程逐一解。
第三层：
(3) 四种解：\(c = \sqrt{7}\)，\(c = 2\)，\(c = 4 - \sqrt{7}\)，\(c = 4 + \sqrt{7}\)。
设 \(P(x, y)\)，由 \(y = \dfrac{12}{x}\) 得 \(xy = 12\)。
矩形 \(OAPB\) 的边长：\(OA = x\)（水平），\(OB = y\)（竖直）。
\[ S_{\text{矩形}} = OA \times OB = x \cdot y = x \cdot \frac{12}{x} = 12 \]
无论 \(P\) 在何处，面积始终为 \(12\)。✓
\(A(4,0)\)，\(B(0,3)\)。
\[ AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
\(P(4,3)\)，\(B(0,3)\)，设 \(C(c, 0)\)。三边：
\[ PB = 4,\quad PC = \sqrt{(c-4)^2 + 3^2},\quad BC = \sqrt{c^2 + 3^2} \]
情况①： \(PB = PC\)
\[ 4 = \sqrt{(c-4)^2 + 9} \;\Rightarrow\; 16 = (c-4)^2 + 9 \;\Rightarrow\; (c-4)^2 = 7 \]
\[ c = 4 \pm \sqrt{7} \]
\(C_1(4+\sqrt{7}, 0)\)，\(C_2(4-\sqrt{7}, 0)\)。两解均在 \(x\) 轴上 ✓。
情况②： \(PB = BC\)
\[ 4 = \sqrt{c^2 + 9} \;\Rightarrow\; 16 = c^2 + 9 \;\Rightarrow\; c^2 = 7 \;\Rightarrow\; c = \pm\sqrt{7} \]
\(c = \sqrt{7}\) ✓。\(c = -\sqrt{7}\) ✗（不在 \(x\) 轴正半轴上，但题目只要求"在 \(x\) 轴上"，两者均在 \(x\) 轴上 ✓）。
Wait——题目只说"在 \(x\) 轴上找一点 \(C\)"，没限定正半轴。\(c = -\sqrt{7}\) 也在 \(x\) 轴上。
重新审题：图中 \(x\) 轴正方向向右，但"在 \(x\) 轴上"通常包括整个 \(x\) 轴。不过如果 \(C\) 在负半轴，\(\triangle PBC\) 的图形会跨越 \(y\) 轴，这仍然是合法的。
更严谨的处理：\(C_3(\sqrt{7}, 0)\)，\(C_4(-\sqrt{7}, 0)\)。
\[ \boxed{C_1(4+\sqrt{7}, 0),\; C_2(4-\sqrt{7}, 0),\; C_3(\sqrt{7}, 0),\; C_4(-\sqrt{7}, 0)} \]
情况③： \(PC = BC\)
\[ \sqrt{(c-4)^2 + 9} = \sqrt{c^2 + 9} \;\Rightarrow\; (c-4)^2 = c^2 \]
\[ c^2 - 8c + 16 = c^2 \;\Rightarrow\; c = 2 \]
\(C_5(2, 0)\) ✓。（但 \(C_5\) 是否与前面的解重复？\(2 \neq \sqrt{7}\)，\(2 \neq 4\pm\sqrt{7}\)，\(2 \neq -\sqrt{7}\)。不重复。）
整合：\(C(4+\sqrt{7}, 0)\)，\(C(4-\sqrt{7}, 0)\)，\(C(\sqrt{7}, 0)\)，\(C(-\sqrt{7}, 0)\)，\(C(2, 0)\)。共五个解。
校核：每种情况的两个解 \(c = \pm\sqrt{7}\) 在情况②中算出来，但需验证在情况①和③中是否已出现。逐一比对后，五个解无重复。
| 易错点 | 原因 | 避免方法 |
|---|---|---|
| (1) 写成 \(S = x + y\) | 面积公式记混 | 矩形面积 = 底×高，两个边分别垂直于坐标轴 |
| (2) 把 \(AB\) 当 \(PA+PB\) | 混淆距离与勾股定理 | 对角线用 \(\sqrt{a^2+b^2}\)，不是 \(a+b\) |
| (3) 遗漏 "\(x\) 轴负半轴"的 \(c<0\) 解 | 只看图忘了负半轴也在 \(x\) 轴上 | 题目只说 "在 \(x\) 轴上"，不限定正半轴 |
| (3) 三种等腰情况只写两种 | 忘记 "三边选二" 有三种组合 | 枚举：PB=PC、PB=BC、PC=BC |
变式1：将反比例函数改为 \(y = \dfrac{6}{x}\)，\(P\) 取横坐标为 \(2\)。重新求解 (2)(3)。
变式2：将"在 \(x\) 轴上找点 \(C\)"改为"在 \(y\) 轴上找点 \(C\)"，其余不变。
变式3（拓展）：若 \(P\) 是动点（横坐标为 \(t>0\)），问是否存在 \(t\) 使得 \(\triangle PBC\) 为等边三角形？若存在，求 \(t\)。
| 小问 | 分值 | 评分要点 |
|---|---|---|
| (1) 面积定值 | 2分 | 写出 \(S = xy\)(1分)，代入 \(y=12/x\) 得 \(S=12\)(1分) |
| (2) 求 \(AB\) | 3分 | 写出 \(A\)、\(B\) 坐标(1分)，列距离公式(1分)，得 \(AB=5\)(1分) |
| (3) 等腰分类 | 7分 | 每正确列出并求解一种情况得 2 分（三种共 6 分），五解全对 + 无重复得 1 分 |
这道题的"心机"藏在第(1)问到第(3)问的递进中。
第(1)问给出的结论"面积=12"——在后续两问中完全没有被直接使用。它是"潜伏"信息：如果你在做第(3)问时注意到 \(OB=3\)、\(OA=4\) 恰好满足 \(3\times4=12\)，你会发现 \(P\) 点坐标和反比例函数的 \(k\) 之间有一种"反向验证"关系。但即使没注意到，也不影响解题。这种"有用但不必须"的条件，正是真实压轴题的特征——条件有冗余，选择有用的是解题者的责任。
数字的选取也经过了推敲：\(k=12\) 使 \(P(4,3)\) 构成 3-4-5 三角形，\(AB=5\) 是整数。第(3)问中 \(\sqrt{7}\) 的出现不可避免（等腰条件天然带根号），但所有解的形式 \(a\pm\sqrt{7}\) 简洁对称。
这道题第(3)问有两种组织答案的方式：
按情况枚举（推荐）：PB=PC → 两个解；PB=BC → 两个解；PC=BC → 一个解。结构清晰，易于复查。缺点是写得长。
按位置合并：观察发现 \(\sqrt{7}\) 和 2 是两个"关键数"，所有解都可以写成这些关键数的组合。这种合并需要非常强的数感，不适合考场。
在考场时间压力下，枚举法虽然"笨"但可信。命题者设计这道题不是为了考"聪明"，而是考"完整"——系统性地覆盖所有情况比灵光一闪更重要。
"\(C\) 大概在 \(A\) 右边吧"——这是看图说话式的思维。题目只写了"在 \(x\) 轴上"，图中 \(x\) 轴有正半轴和负半轴，但学生习惯了 \(x>0\) 的第一象限，自动过滤掉负半轴的可能性。这种"视觉过滤"是几何分类讨论最常见的失分点——眼睛告诉你 \(C\) 在右边，题目没说不许在左边。
更深层的认知问题是：学生把"坐标系"当成了"第一象限"的同义词。坐标系有四象限和两条轴，解题时必须尊重代数的全部可能性，而不是只画第一象限的图。
这道题表面考反比例函数和等腰三角形。深层考的是不变量与变量的辩证关系。反比例函数的核心性质是 \(xy = k\)——面积是不变量，但 \(x\) 和 \(y\) 各自是变量。第(1)问揭示这个不变量，第(2)(3)问在这个不变量约束下探索变量的可能性（\(C\) 的位置）。整个题的设计哲学是：在不变中寻找所有可能的变——这正是数学建模思维的核心。
对标新轮换表第 1 期「函数综合·反比例+几何构造」。全程八年级知识（反比例函数+勾股定理+等腰分类+无理方程）。选 \(k=12\) 和 \(P(4,3)\) 是为了让 \(AB=5\)（3-4-5 三角形），降低计算门槛的同时不损失思维深度。第(3)问五个解的设计旨在训练"系统性枚举"——不是求"那个"答案，是求"所有"答案。