一次函数背景下的平行四边形构造与存在性。以坐标几何为主线，融合一次函数解析、平行四边形判定、动点参数化表达、以及基于对称性的存在性分析。三问梯度：坐标计算（基础）→ 动点面积建模（中档）→ 等距点存在性（拔高），全程仅用八年级下知识，体现"参数+存在性"的命题方向。 ---
| 能力 | 对应问号 | 知识来源 |
|---|---|---|
| 平行四边形坐标计算 | (1) | 八下·四边形 |
| 线段参数方程表达 | (2) | 八下·一次函数 |
| 坐标法求三角形面积 | (2) | 八下·坐标几何 |
| 绝对值方程的完整讨论 | (2) | 八上·绝对值 |
| 两点距离公式与对称性 | (3) | 八下·勾股定理 |
| 分类讨论与几何条件翻译 | (3) | 综合 |
在平面直角坐标系中，已知点 \(A(-3, 0)\)，\(B(3, 0)\)，\(C(0, 4)\)。
求点 \(D\) 的坐标，使四边形 \(ABCD\) 为平行四边形。
点 \(P\) 在线段 \(AC\) 上运动。设 \(t = \dfrac{AP}{AC}\;(0 \leqslant t \leqslant 1)\)，\(\triangle PBD\) 的面积为 \(S\)。
（i）用 \(t\) 表示 \(S\)。
（ii）当 \(S = 9\) 时，求点 \(P\) 的坐标。
在 \(y\) 轴上是否存在点 \(Q\)，使 \(QA = QB = QC\)（即 \(Q\) 到 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三点的距离相等）？若存在，求出 \(Q\) 的坐标及此时的距离；若不存在，请说明理由。
已知：
\[ A(-3, 0),\; B(3, 0),\; C(0, 4) \]
(1) 平行四边形 \(ABCD\) → 对角线互相平分，即 \(A + C = B + D\)。
(2) 参数化：设 \(t = \dfrac{AP}{AC},\;0 \leqslant t \leqslant 1\)。
\[ P = A + t \cdot \overrightarrow{AC} = (-3 + 3t,\; 4t) \]
三角形面积公式（坐标法）：
\[ S_{\triangle PBD} = \frac{1}{2}\left| x_P(y_B - y_D) + x_B(y_D - y_P) + x_D(y_P - y_B) \right| \]
(3) \(Q(0, y)\) 在 \(y\) 轴上。条件 \(QA = QB = QC\) 等价于 \(QA = QB\) 且 \(QA = QC\)。
\[ QA^2 = (-3-0)^2 + (0-y)^2 = 9 + y^2 \]
\[ QB^2 = (3-0)^2 + (0-y)^2 = 9 + y^2 \]
\[ QC^2 = (0-0)^2 + (4-y)^2 = (y-4)^2 \]
本题的三个问题构成一条完整的思维链条：
关键思维转变：不要一看到"三点到某点距离相等"就求外接圆圆心——先观察点的对称性，利用几何直觉简化代数。
已知 \(P(1, 2)\)、\(Q(5, 3)\)、\(R(2, 6)\)，求 \(S\) 使 \(PQRS\) 为平行四边形。
解法：\(P + R = Q + S\) → \(S = P + R - Q = (1+2-5, 2+6-3) = (-2, 5)\)。
已知 \(M(2, 1)\)、\(N(8, 4)\)，设 \(t = \dfrac{MP}{MN}\)，用 \(t\) 表示 \(P\) 的坐标。
解法：\(P = (2 + 6t,\; 1 + 3t)\)。
已知 \(X(-1, 0)、Y(2, 0)、Z(0, 3)\)，求 \(\triangle XYZ\) 的面积。
解法：\(S = \frac{1}{2} \times |XY| \times |Z_y| = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\)。或者用公式：\(S = \frac{1}{2}|(-1)(0-3) + 2(3-0) + 0(0-0)| = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5\)。
第一层：平行四边形的对角线具有什么性质？三个已知顶点中，哪两个是"相对"的？
第二层：设 \(A\) 与 \(C\) 为相对顶点，\(B\) 与 \(D\) 为相对顶点，则 \(A + C = B + D\)（坐标形式）。
第一层：\(P\) 在线段 \(AC\) 上——你能用参数 \(t\) 写出 \(P\) 的坐标吗？先写出 \(A\) 到 \(C\) 的"位移向量"。
第二层：\(\overrightarrow{AC} = (3, 4)\)，所以 \(P = (-3+3t, 4t)\)。把 \(P\) 的坐标代入面积公式时，注意 \({\color{#ef4444}B(3,0)}\) 和 \({\color{#ef4444}D(-6,4)}\) 的坐标不要混淆。
第三层：化简后得到 \(S = |12 - 24t|\)。解 \(S = 9\) 时，去绝对值得到 \(12-24t = \pm 9\)，分别解出两个 \(t\) 值，均满足 \(0 \leqslant t \leqslant 1\)。
第一层：\(Q\) 在 \(y\) 轴上，设 \(Q(0, y)\)。仔细看看 \(A\) 和 \(B\) 的坐标——它们有什么位置关系？
第二层：\(A\) 和 \(B\) 关于 \(y\) 轴对称！所以不论 \(y\) 是多少，一定有 \(QA = QB\)。问题简化为 \(QA = QC\)。
第三层：由 \(QA^2 = QC^2\) 得 \(9 + y^2 = (y-4)^2\)。展开后 \(y^2\) 抵消，得到关于 \(y\) 的一次方程，解出一个确定的值。
四边形 \(ABCD\) 为平行四边形，取 \(A\)、\(C\) 为相对顶点（\(B\)、\(D\) 为另一组相对顶点），则对角线互相平分：
\[ \frac{A+C}{2} = \frac{B+D}{2} \quad\Rightarrow\quad D = A + C - B \]
\[ D = (-3 + 0 - 3,\; 0 + 4 - 0) = (-6,\; 4) \]
答：\(D(-6, 4)\)。
(i) 用 \(t\) 表示 \(S\)
\[ \overrightarrow{AC} = (3, 4) \]
\[ P = A + t\overrightarrow{AC} = (-3 + 3t,\; 4t),\quad 0 \leqslant t \leqslant 1 \]
\[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\Big| x_P(y_B - y_D) + x_B(y_D - y_P) + x_D(y_P - y_B) \Big| \\[4pt] &= \frac{1}{2}\Big| (-3+3t)(0-4) + 3(4-4t) + (-6)(4t-0) \Big| \\[4pt] &= \frac{1}{2}\Big| (-3+3t)(-4) + 12 - 12t - 24t \Big| \\[4pt] &= \frac{1}{2}\Big| 12 - 12t + 12 - 36t \Big| \\[4pt] &= \frac{1}{2}\Big| 24 - 48t \Big| \\[4pt] &= |12 - 24t| \end{aligned} \]
(ii) 当 \(S = 9\) 时求 \(P\)
\[ |12 - 24t| = 9 \]
去绝对值：
\[ 12 - 24t = 9 \;\Rightarrow\; 24t = 3 \;\Rightarrow\; t = \frac{1}{8} \]
\[ 12 - 24t = -9 \;\Rightarrow\; 24t = 21 \;\Rightarrow\; t = \frac{7}{8} \]
两个 \(t\) 值均在 \([0, 1]\) 内，对应两个不同的 \(P\)：
\[ t = \frac{1}{8}:\quad P_1 = \left(-3 + \frac{3}{8},\; \frac{4}{8}\right) = \left(-\frac{21}{8},\; \frac{1}{2}\right) \]
\[ t = \frac{7}{8}:\quad P_2 = \left(-3 + \frac{21}{8},\; \frac{28}{8}\right) = \left(-\frac{3}{8},\; \frac{7}{2}\right) \]
几何解释：\(S = |12 - 24t|\) 在 \(t = 0.5\) 时取最小值 \(0\)（\(P\) 在 \(AC\) 中点时，\(P\)、\(B\)、\(D\) 三点共线），向两端线性增长。\(S = 9\) 时，\(P\) 在中点两侧各有一个对称位置。
设 \(Q(0, y)\)。计算：
\[ QA^2 = (0+3)^2 + (y-0)^2 = 9 + y^2 \]
\[ QB^2 = (0-3)^2 + (y-0)^2 = 9 + y^2 \]
关键发现：\(QA^2 = QB^2\) 恒成立！因为 \(A(-3,0)\) 和 \(B(3,0)\) 关于 \(y\) 轴对称，\(y\) 轴上任意点到 \(A\)、\(B\) 的距离都相等。
因此问题归结为 \(QA = QC\)：
\[ 9 + y^2 = (y - 4)^2 \]
\[ 9 + y^2 = y^2 - 8y + 16 \]
\[ 9 = -8y + 16 \]
\[ 8y = 7 \]
\[ y = \frac{7}{8} \]
此时公共距离：
\[ QA = \sqrt{9 + \left(\frac{7}{8}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{576 + 49}{64}} = \sqrt{\frac{625}{64}} = \frac{25}{8} \]
答：存在，\(Q\left(0,\; \dfrac{7}{8}\right)\)，此时 \(QA = QB = QC = \dfrac{25}{8}\)。
| 易错点 | 正确做法 | ||
|---|---|---|---|
| 平行四边形顶点顺序混淆 | 明确"\(ABCD\) 为平行四边形"中各顶点为顺序排列的对边顶点，\(A\) 对 \(C\)，\(B\) 对 \(D\) | ||
| 面积绝对值漏掉 | 动点 \(P\) 在 \(AC\) 上移动时 \(S = f(t)\) 可能变号，必须带绝对值。本题恰好在中点处面积为零（三点共线） | ||
| 解绝对值方程只取正号 | \( | 12-24t | =9\) 必须讨论 \(\pm 9\)，得出两个 \(t\) 后还要验证是否在 \([0,1]\) 内 |
| 第(3)问不观察对称性 | 列 \(QA = QB\) 联立方程后发现恒等（浪费大量时间）。应先注意到 \(A\)、\(B\) 关于 \(y\) 轴对称 | ||
| 第(3)问的解漏单位 | \(y = \frac{7}{8}\) 是坐标值，题目问的是 \(Q\) 的坐标，答案应写 \((0, \frac{7}{8})\) |
已知 \(A(-4, 0),\; B(2, 0),\; C(-1, 5)\)。重复上述三个问题。
提示：\(D = A + C - B = (-7, 5)\)。面积化简后 \(S = |\frac{5}{2}(4 - 6t)?|\)（需重新计算验证）。
将第(3)问改为：在 \(x\) 轴上找点 \(Q\)，使 \(QA = QB = QC\)。是否存在？为什么？
提示：\(x\) 轴上点到 \(A\)、\(B\) 的距离一般不等（除非在 \(AB\) 的中垂线 \(x = 0\) 上），而 \(x = 0\) 恰好是 \(y\) 轴上的原点。检查 \(Q(0,0)\) 是否满足 \(QA = QC\)：\(QA = 3\)，\(QC = 4\)，不相等。因此不存在这样的点。
某公园的平面图中，入口 \(A\)、出口 \(B\)、游客中心 \(C\) 的坐标分别为 \((-3, 0)\)、\((3, 0)\)、\((0, 4)\)（单位：百米）。现要建一个停车场 \(D\)，使 \(ABCD\) 构成平行四边形；并在 \(AC\) 小径上设两个休息亭，使休息亭与 \(B\)、\(D\) 围成的区域面积为 \(900\) 平方米。求休息亭的位置。
提示：面积 \(9\)（以百米²为单位）= \(900\) 平方米。结果同原题(2)。
| 题号 | 分值 | 评分要点 | ||
|---|---|---|---|---|
| (1) | 2分 | 正确写出 \(D = A + C - B\) 得1分；计算正确 \(D(-6,4)\) 得1分 | ||
| (2)(i) | 2分 | 正确表达 \(P\) 的坐标得1分；正确化简 \(S = \ | 12-24t\ | \) 得1分 |
| (2)(ii) | 3分 | 正确去绝对值列出两个方程得1分；解出 \(t = 1/8\) 得1分；解出 \(t = 7/8\) 得1分 | ||
| (3) | 5分 | 设 \(Q(0, y)\) 得1分；发现 \(QA = QB\) 恒成立得2分（关键的对称性洞察）；列出 \(QA^2 = QC^2\) 并解出 \(y = 7/8\) 得1分；完整回答 \(Q(0, 7/8)\) 且计算距离得1分 |
题型定位：本期对应 10 期轮换 第5期"参数+存在性"，融合第25题类（几何动点+存在性）和去套路化命题方向。全程仅用八年级下知识（一次函数、坐标几何、平行四边形、勾股定理），不涉及九年级内容。
三问梯度设计：
趋势契合度：
学生常见错误预判：
考纲对应：平行四边形 ✓ / 坐标几何 ✓ / 一次函数参数表达 ✓ / 勾股定理 ✓ / 绝对值方程 ✓ / 对称性分析 ✓