上海中考数学压轴题专项练习

由折叠性质：折痕 \(BF\) 是线段 \(CE\) 的垂直平分线。

• \(BE = BC = 5\)（折叠保距）

\[ AE = \sqrt{BE^2 - AB^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 \]

• \(CE\) 中点 \(G\)：

\[ G\left(\frac{4+0}{2},\; \frac{5+3}{2}\right) = G(2,\; 4) \]

• \(CE\) 斜率 \(k_{CE} = \dfrac{3-5}{0-4} = \dfrac{1}{2}\)，垂直斜率 \(k_{\perp} = -2\)
• 折痕 \(BF\)：过 \(G(2,4)\)，斜率 \(-2\)

\[ y - 4 = -2(x - 2),\quad y = -2x + 8 \]

• \(F\) 在 \(CD\)（\(y = 5\)）：\(5 = -2x + 8 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)，\(F\left(\frac{3}{2},\; 5\right)\)

\[ CF = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \]

• 四边形 \(BCGE\)：\(BC = BE = 5\)，\(CG = EG = \sqrt{5}\)

---

面对折叠问题，先问自己三个问题：

1. 谁在动，谁不动？ 折痕上的点不动（\(B\) 和 \(F\) 位置不变），其他点随折叠移动。
2. 折叠保什么？ 保距离（\(BC = BE\)、\(CF = EF\)）、保角度关系。
3. 折痕是什么线？ 折痕是折叠前后对应点的垂直平分线——这是折叠问题最核心的几何事实。

本题(1)问入口极低——用勾股定理即可求 \(AE\)；(2)问利用垂直平分线性质求面积；(3)问更换折叠方向后重新建模，考查迁移能力。

关键思维节点：

• 看到"折叠+矩形"→ 立即建坐标系，用坐标法量化所有位置关系
• 折痕 = 垂直平分线 → 用中点 + 垂直斜率快速求折痕方程
• 第(3)问本质是(1)(2)的"镜像"——折叠方向变了，但逻辑完全一致

---

基础题1：直角三角形勾股（八年级）

在 \({\rm Rt}\triangle ABE\) 中，\(\angle A = 90^{\circ}\)，\(AB = 4\)，\(BE = 5\)。求 \(AE\)。

答案：\(AE = 3\)。

基础题2：线段垂直平分线（八年级）

已知 \(C(4,5)\)、\(E(0,3)\)。求线段 \(CE\) 的垂直平分线方程，并求该直线与直线 \(y = 5\) 的交点坐标。

答案：垂直平分线 \(y = -2x + 8\)；交点 \(\left(\frac{3}{2},\; 5\right)\)。

基础题3：两点间距离（八年级）

求 \(C(4,5)\) 到 \(B'(0,2)\) 的距离。

答案：\(CB' = \sqrt{16 + 9} = 5\)。

基础题4：三角形面积（八年级）

已知 \(B(4,0)\)、\(C(4,5)\)、\(G(2,4)\)，求 \(\triangle BCG\) 的面积。

答案：用坐标公式 \(\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = \frac{1}{2}|4 \times 1 + 4 \times 4 + 2 \times (-5)| = 5\)。

---

第一层提示（给完全没思路的学生）

折叠后 \(C\) 与 \(E\) 重合，那么折叠前后哪些量相等？特别关注从 \(B\) 出发的两条线段。

基于这一发现，\(\triangle ABE\) 是什么三角形？缺什么条件就能用勾股定理？

第二层提示（给有思路但卡住的学生）

\(F\) 在折痕上，也在 \(CD\) 上。折痕是线段 \(CE\) 的垂直平分线——请你写出 \(CE\) 的中点和 \(CE\) 的斜率，再求折痕方程，最后联立 \(y=5\)。

第(3)问是同一个逻辑的"镜像"：这次折痕过 \(C\) 和 \(H\)，\(B\) 映射到 \(B'\)。先由 \(CB' = CB = 5\) 求出 \(B'\) 坐标，再用垂直平分线求 \(H\)。

第三层提示（给已有思路但需确认的学生）

第(2)问的 \(\triangle BCG\)：\(BC = 5\) 是底边。\(G(2,4)\) 到直线 \(BC\)（\(x=4\)）的水平距离为 \(4-2=2\)，这就是高。面积就是 \(\frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5\)——你没看错，就这么简单。

第(3)(ii)问：矩形中心 \(O(2,\; 2.5)\)。\(C(4,5)\) 和 \(O\) 的连线斜率为 \(\frac{5}{4}\)。如果 \(CH\) 经过 \(O\)，则 \(CH\) 的斜率必须是 \(\frac{5}{4}\)，但 \(CH\) 作为 \(BB'\) 的垂直平分线，其斜率与 \(B'\) 的坐标有关——试试看能不能找到满足双重条件的 \(B'\)。

---

（1）（i）求 \(AE\) 和 \(BE\) — 3分

折叠将 \(C\) 映射到 \(E\)，折痕 \(BF\) 上的点 \(B\) 到 \(C\) 和 \(E\) 的距离相等：

\[ BE = BC = 5 \]

在 \({\rm Rt}\triangle ABE\) 中，\(\angle A = 90^{\circ}\)，\(AB = 4\)，\(BE = 5\)：

\[ AE = \sqrt{BE^2 - AB^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \]

答案：\(AE = 3\)，\(BE = 5\)。

---

（1）（ii）求 \(CF\) — 3分

建系：以 \(A\) 为原点，\(A(0,0)\)，\(B(4,0)\)，\(C(4,5)\)，\(D(0,5)\)。

由(1)(i)得 \(E(0,3)\)。折痕 \(BF\) 是线段 \(CE\) 的垂直平分线。

\(CE\) 的中点 \(G\)：

\[ G\left(\frac{4+0}{2},\; \frac{5+3}{2}\right) = G(2,\; 4) \]

\(CE\) 的斜率：\(k_{CE} = \frac{3-5}{0-4} = \frac{1}{2}\)

垂直斜率：\(k_{\perp} = -2\)

折痕 \(BF\)（过 \(G\)，斜率 \(-2\)）：

\[ y - 4 = -2(x - 2) \quad\Rightarrow\quad y = -2x + 8 \]

验证 \(B(4,0)\) 在折痕上：\(0 = -2 \times 4 + 8 = 0\)。✓

\(F\) 是折痕与 \(CD\)（\(y = 5\)）的交点：

\[ 5 = -2x + 8 \quad\Rightarrow\quad 2x = 3 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3}{2} \]

\[ F\left(\frac{3}{2},\; 5\right) \]

\(CF\) 的长度（\(C\) 和 \(F\) 同在 \(y = 5\) 上）：

\[ CF = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \]

答案：\(CF = \dfrac{5}{2}\)。

---

（2）（i）求证 \(G\) 是 \(CE\) 中点且 \(BG \perp CE\) — 3分

折痕 \(BF\) 是线段 \(CE\) 的垂直平分线（折叠性质）。

因此：

• \(G\)（\(BF\) 与 \(CE\) 的交点）是 \(CE\) 的中点。
• \(BG\)（即 \(BF\) 的一部分）\(\perp CE\)。

得证。这是折叠的核心几何性质，无需额外计算。

---

（2）（ii）求 \(\triangle BCG\) 的面积 — 3分

方法一（几何法）：

\(B(4,0)\)，\(C(4,5)\)，\(BC\) 为竖直线段 \(x=4\)，长 \(5\)。

\(G(2,4)\)，\(G\) 到 \(BC\) 的水平距离为 \(4-2=2\)（即高）。

\[ S_{\triangle BCG} = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5 \]

方法二（坐标法）：

\[ S = \frac{1}{2}\left|x_B(y_C - y_G) + x_C(y_G - y_B) + x_G(y_B - y_C)\right| \]

\[ = \frac{1}{2}\left|4(5-4) + 4(4-0) + 2(0-5)\right| = \frac{1}{2}\left|4 + 16 - 10\right| = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \]

答案：\(S_{\triangle BCG} = 5\)。

---

（3）（i）求 \(AB'\) 和 \(CH\) — 3分

折叠沿 \(CH\)：\(C\) 和 \(H\) 在折痕上，\(B\) 映射到 \(B'\) 在 \(AD\) 上。

折叠保距：\(CB' = CB = 5\)。

设 \(B'(0,\; b')\)（在 \(AD\) 上，\(0 < b' < 5\)）：

\[ CB'^2 = (4-0)^2 + (5-b')^2 = 16 + (5-b')^2 = 25 \]

\[ (5-b')^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad 5-b' = \pm 3 \]

\(5-b' = 3 \Rightarrow b' = 2\)（在 \(AD\) 内 ✓）

\(5-b' = -3 \Rightarrow b' = 8\)（超出 \(AD\) ✗）

\[ B'(0,\; 2),\quad AB' = 2 \]

折痕 \(CH\) 是 \(BB'\) 的垂直平分线：

\(B(4,0)\)，\(B'(0,2)\)。中点 \(M(2,1)\)。

\(BB'\) 斜率：\(\frac{2-0}{0-4} = -\frac{1}{2}\)，垂直斜率：\(2\)。

\(CH\) 方程：\(y - 1 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 3\)

验证 \(C(4,5)\)：\(5 = 2 \times 4 - 3 = 5\)。✓

\(H\) 在 \(AB\)（\(y=0\)，\(0 \leq x \leq 4\)）上：

\(0 = 2x - 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)，\(H\left(\frac{3}{2},\; 0\right)\)

\[ CH = \sqrt{(4-\frac{3}{2})^2 + (5-0)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + 25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \]

答案：\(AB' = 2\)，\(CH = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}\)。

---

（3）（ii）\(CH\) 是否经过矩形中心？— 2分

矩形中心 \(O\) 即两条对角线的交点：

\[ O\left(\frac{4+0}{2},\; \frac{5+0}{2}\right) = O(2,\; 2.5) \]

验证 \(O\) 是否在 \(CH\)：\(y = 2x - 3\) 上：

\[ 2.5 \stackrel{?}{=} 2 \times 2 - 3 = 1 \]

\[ 2.5 \neq 1 \]

不经过。

推而广之：矩形中心 \(O(2, 2.5)\) 与 \(C(4,5)\) 的连线斜率为 \(\frac{5}{4}\)。而 \(CH\) 作为 \(BB'\) 的垂直平分线，要使 \(CH\) 过 \(O\)，必须 \(\frac{4}{b'} = \frac{5}{4}\)，即 \(b' = \frac{16}{5} = 3.2\)。但此时 \(CB'^2 = 16 + (5-3.2)^2 = 19.24 \neq 25\)，与 \(CB' = 5\) 矛盾。故不存在这样的折叠。

答案：不经过。因为 \(CH\) 过 \(C\) 和 \(O\) 时斜率 \(\frac{5}{4}\) 与 \(CH\) 作为 \(BB'\) 垂直平分线所需的斜率 \(2\) 不一致，无法同时满足。

---

易错点	说明
混淆 \(AE\) 和 \(BE\)	部分学生直接令 \(AE = BC = 5\)，忽略了 \(AE\) 并非折叠的对应边——\(BE = BC\) 才是
忘记"垂直平分线"	折叠问题中折痕 = 对应点连线的垂直平分线，这是最核心的桥梁。忘记这一条，(2)问直接卡死
斜率和中点算错	\(CE\) 斜率 \(\frac{1}{2}\) 而非 \(\frac{1}{3}\) 或 \(\frac{2}{4}\)……务必逐一代入验证
第(3)问漏解	\((5-b')^2=9\) 拆出两个值，需检查哪个在定义域内。学生可能看到 \(b'=8\) 就放弃，忘了 \(b'=2\) 是有效解
矩形中心坐标算错	矩形中心 = 对角线交点 = 顶点坐标的算术平均：\(\left(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}\right)\)，不是 \(\left(\frac{AB}{2}, \frac{BC}{2}\right)\)

---

能力维度	体现位置	评分
折叠性质理解	(1)(i) 利用 \(BE=BC\)	★★★
坐标法建模	(1)(ii) 建系 + 垂直平分线	★★★★
几何直觉	(2)(i) 识别筝形结构	★★★
多元解法	(2)(ii) 几何法 + 坐标法	★★★★
分类讨论	(3)(i) 解 \((5-b')^2=9\) 检验定义域	★★★
推理论证	(3)(ii) 双重条件矛盾的存在性分析	★★★★★

---

变式1（中等 — 矩形折叠基础）

将原题矩形改为正方形 \(ABCD\)，边长为 \(6\)。仍沿过 \(B\) 的直线折叠使 \(C\) 落在 \(AD\) 上。求 \(AE\) 和折痕长。

提示：\(BE = BC = 6\)，\(AB = 6\)，所以 \(AE = 0\)——也就是说 \(E\) 与 \(A\) 重合！折叠后 \(C\) 恰好落在 \(A\) 处，此时折痕为 \(BA\) 的中垂线？不对——重新按流程做一遍。

变式2（较难 — 折叠的存在性）

将原题矩形改为 \(AB=3\)，\(BC=10\)。沿过 \(B\) 的直线折叠，\(C\) 还能落在 \(AD\) 上吗？请给出判断并说明理由。

提示：\(BE = BC = 10\)，\(AB = 3\)，需要 \(AE = \sqrt{10^2 - 3^2} = \sqrt{91} \approx 9.54\)。但 \(AD = 10 > 9.54\)，所以恰好可以。

变式3（困难 — 实际应用）

小明有一张矩形纸条 \(4 \times 5\)（单位：cm），想把纸条的一个角折到对边上做成一个信封封口。他发现沿过 \(B\) 的直线折叠后 \(C\) 落在 \(AD\) 上，折痕恰好平分矩形的面积。这可能吗？若能，请给出折痕位置；若不能，请证明。

提示：折痕 \(BF\) 平分面积意味着什么？矩形中一条过顶点的线段平分面积，该线段必须经过矩形的中心吗？

---

1. 折叠问题的"万能钥匙"是什么？为什么折痕一定是两条对应点连线的垂直平分线？
2. (1)(ii)中如果没有建系，能否用纯几何方法求 \(CF\)？试试看。
3. (3)(i)的 \(b'=8\) 为什么被舍去？如果矩形改成 \(AB=4, BC=8\)，\(b'=8\) 还该舍吗？
4. (3)(ii)的推理中，我们是否可以先假设 \(CH\) 经过 \(O\)，再反推出矛盾的 \(CB'\) 长度？这种"反证法"在折叠问题中有什么优势？
5. 如果把原题的矩形改为平行四边形（非矩形），折叠问题还能用同样的坐标法吗？障碍在哪？

---

题型定位：本卷对标 10期轮换第4期"折叠+轴对称+勾股"，融合第18题类（图形折叠/翻折）和实践操作类（折纸→数学建模）。

三问梯度设计：

• (1) 入口极低（6分）：第一问 \(AE=3\) 几乎只用勾股定理一步到位，保证任何学生都能得分；第二问 \(CF\) 需要坐标法建模，是八年级的核心技能检验。
• (2) 核心区分度（6分）：折痕=垂直平分线这一核心性质的理解和应用。(i)是性质阐述，(ii)的面积计算只需"BC是竖线，G到BC的水平距离就是高"这一几何直觉——两种解法（几何/坐标）体现"解法多元"趋势。
• (3) 拔高探究（5分）：更换折叠方向后完全重新建模，考查迁移能力而非套路识别。(ii)的存在性分析是"去套路化"的典型——题目不提示"是否经过"，学生需自己判断并给出理由。

趋势契合度：

• ✅ 实践操作类：折纸→数学建模，题目包装有真实感
• ✅ 去套路化：分层提示只说"折痕是垂直平分线"（这是定义），不提示"用XX模型"；第(3)(ii)问不提示"分类讨论"或"存在/不存在"
• ✅ 解法多元：(2)(ii)给出几何法和坐标法两种路径
• ✅ 考纲全覆盖：勾股定理 ✓ / 坐标法 ✓ / 垂直平分线 ✓ / 折叠性质 ✓ / 四边形 ✓ / 分类讨论 ✓ / 存在性分析 ✓

易错点预判：学生最常见的三个错误——(1)误以为 \(AE=BC\)；(2)忘记折痕=垂直平分线，在(1)(ii)无法下手；(3)第(3)问只解出 \(b'=8\)（已超出范围）就草草结束，漏掉 \(b'=2\)。

---