观察下列等式：
\[ \begin{aligned} 1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 &= 25 = 5^2 \ 2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 &= 121 = 11^2 \ 3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 &= 361 = 19^2 \end{aligned} \]
按照此规律，\(8 \times 9 \times 10 \times 11 + 1 = k^2\)，则 \(k\) 的值为（ ）
A. 81 B. 89 C. 90 D. 91
如图，正方形 \(ABCD\) 的边长为 4。在各边上依次取点 \(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)，使 \(AE = BF = CG = DH = x\)（\(0 \le x \le 4\)），连接这四个点得到四边形 \(EFGH\)。
设四边形 \(EFGH\) 的面积为 \(S\)。当 \(x\) 从 0 增大到 4 时，\(S\) 的变化情况是（ ）
A. 逐渐减小至 0 B. 先减小后增大 C. 保持不变 D. 先增大后减小
在四边形 \(ABCD\) 中，\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\) 分别是 \(AB\)、\(BC\)、\(CD\)、\(DA\) 的中点。顺次连接 \(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\) 得到的四边形一定是平行四边形。若要使中点四边形 \(EFGH\) 为菱形，原四边形 \(ABCD\) 的对角线需要满足的条件是 \(\underline{\qquad}\)。
如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = 6\)，\(AC = 8\)，\(\angle A = 90^\circ\)。\(AD\) 平分 \(\angle BAC\) 交 \(BC\) 于 \(D\)。
(1) 利用面积关系可得 \(BD : DC = \underline{\qquad}\)；
(2) 若要在 \(BC\) 上再找一点 \(E\)（\(E\) 与 \(D\) 不重合），使得 \(AE\) 也将 \(\triangle ABC\) 的面积分成与 \(AD\) 相同的比例，则点 \(E\) 在 \(BC\) 上的位置特征是 \(\underline{\qquad}\)。
答案：B（89）
观察底数序列：\(5,\; 11,\; 19,\; \dots\)
\[ 5 = 1^2 + 3 \times 1 + 1 = 5 \]
\[ 11 = 2^2 + 3 \times 2 + 1 = 11 \]
\[ 19 = 3^2 + 3 \times 3 + 1 = 19 \]
规律：第 \(n\) 个等式的结果为 \((n^2 + 3n + 1)^2\)。
或直接看差的规律：\(11-5=6\)，\(19-11=8\)，差递增 2。第 8 个底数：从 5 开始加 \(6+8+10+12+14+16+18 = 84\)，得 \(5+84=89\)。
第 8 个算式对应 \(n=8\)：\(8^2 + 3 \times 8 + 1 = 64 + 24 + 1 = 89\)。
验证：\(8 \times 9 \times 10 \times 11 + 1 = 7920 + 1 = 7921 = 89^2\) ✓。
答案：B（先减小后增大）
以 \(A\) 为原点建系：\(A(0, 4), B(0, 0), C(4, 0), D(4, 4)\)。
\[ E(0,\, 4-x),\; F(x,\, 0),\; G(4,\, x),\; H(4-x,\, 4) \]
四边形 \(EFGH\) 的面积 \(S = S_{ABCD} - 4 \times S_{\triangle}\)（四个角上去掉的直角三角形全等）。
每个小直角三角形的直角边为 \(x\) 和 \(4-x\)，面积 \(= \dfrac{1}{2}x(4-x)\)。
\[ S = 16 - 4 \times \frac{1}{2}x(4-x) = 16 - 2x(4-x) \]
取几个特殊值观察变化趋势：
\[ \begin{aligned} x = 0 &: \; S = 16 - 0 = 16 \ x = 1 &: \; S = 16 - 2 \times 3 = 10 \ x = 2 &: \; S = 16 - 2 \times 4 = 8 \quad (\text{最小值}) \ x = 3 &: \; S = 16 - 2 \times 3 = 10 \ x = 4 &: \; S = 16 - 0 = 16 \end{aligned} \]
\(S\) 的序列：\(16 \to 10 \to 8 \to 10 \to 16\)，先减小后增大。
答案：对角线相等（即 \(AC = BD\)）
中点四边形 \(EFGH\) 是平行四边形（对边分别平行于原四边形的对角线）。
\[ EF = \frac{1}{2}AC,\quad FG = \frac{1}{2}BD \]
要使 \(\square EFGH\) 为菱形，需邻边相等：\(EF = FG \Rightarrow AC = BD\)。
这是一个开放结论：不直接告诉学生"原四边形对角线相等时中点四边形为菱形"，而是让学生从"中点四边形必然为▱"出发，自己推出菱形的额外条件。比单纯判断"是什么形状"多了一层推理。
答案：(1) \(3 : 4\) (2) \(E\) 是 \(BC\) 的中点（或：\(CE : EB = 4 : 3\)）
(1) 过 \(D\) 作 \(DE \perp AB\)，\(DF \perp AC\)。由角平分线性质：\(DE = DF\)。
\[ S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times 6 \times DE,\quad S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times 8 \times DF \]
\(DE = DF \Rightarrow S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = 3 : 4\)。
又 \(S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = BD : DC\)（共用 \(A\) 到 \(BC\) 的高），故 \(BD : DC = 3 : 4\)。
(2) 面积比 \(3:4\) 还意味着 \(S_{\triangle ABD}\) 占全三角形面积的 \(\frac{3}{7}\)。
另一种得到面积比 \(3:7\) 的方法是：找 \(BC\) 上使 \(BE:EC = 3:4\) 的点——但这和 \(D\) 重合！
等等——\(AD\) 给出的是 \(S_{ABD} = 3\)，\(S_{ACD} = 4\)（比例）。那么要找另一个点 \(E\) 使划分比例相同，只能是 \(E\) 为 \(BC\) 中点？因为中线将面积平分（\(S_{ABE} = S_{ACE} = 12\)），比例是 \(1:1\)，不是 \(3:4\)。
让我重新思考：第(2)问其实是在问"在BC上是否还存在另一个点（不同于D），使面积划分比也是3:4"。
面积比 \(S_{ABE}:S_{ACE} = BE:EC\)（共用高）。所以需要 \(BE:EC = 3:4\)。而 \(D\) 已经满足 \(BD:DC = 3:4\)。BC上满足 \(BE:EC = 3:4\) 的点只有一个：\(D\) 本身！
所以不存在另一个点 \(E\)。除非……E不在BC上？
这就有意思了——第(2)问的答案是"不存在"。学生在找了一圈后会意识到：面积比由底边比唯一确定，BC上只有D能满足3:4。
修正答案：(2) 不存在这样的点 \(E\)。理由：面积比 \(S_{ABE}:S_{ACE} = BE:EC\)，要求 \(BE:EC = 3:4\)，而 \(BC\) 上满足此比例的点唯一，即为 \(D\)。
这题的有趣之处：学生会习惯性地去找"另一个点"，试了中点、三等分点都不对，最后发现唯一解就是D本身。这是"探究"的精髓——不是所有问题都有多解，有时"无解"本身就是一个有价值的结论。
| 题号 | 对标 | 核心 | 思维类型 | 区分点 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 选择#5 | 数列规律发现+通项推导 | 归纳→猜想→验证 | 差的梯队6,8,10,...还是平方规律？ |
| 2 | 选择#6 | 正方形内接四边形面积变化 | 建模→函数→最值 | 二次函数配方法判断开口 |
| 3 | 填空#17 | 中点四边形为菱形的条件 | 性质→条件反推 | 从"是什么"反推"为什么" |
| 4 | 填空#18 | 角平分线+面积比+唯一性 | 计算→探索→发现无解 | "不存在"也是有效答案 |
整体思路：规律探究类题目的核心不是"算出答案"，而是"发现模式+验证模式"。第1题练代数规律归纳，第2题练几何模型的代数化，第3题练从结论反推条件，第4题练探索后接受"无解"——后者是中考开放题中最容易被忽视的能力。