中考数学小题专项 — 新定义 + 图形变换（八年级）

选择题

第1题（新定义 · 代数运算）

对于两个不相等的实数 \(a\)、\(b\)（\(a > b\)），定义 \((a, b)\) 的"差比"为 \(\dfrac{a + b}{a - b}\)。根据此定义，给出以下四个结论：

① \((5,\; 1)\) 的差比是 \(\dfrac{3}{2}\)

② \((3,\; -1)\) 的差比是 \(\dfrac{1}{2}\)

③ 若 \((a,\; 3)\) 的差比为 \(2\)，则 \(a = 9\)

④ 对任意两个不相等的正实数 \(x\)、\(y\)（\(x > y\)），\((x,\; y)\) 的差比等于 \((y,\; x)\) 的差比

其中正确的结论有（ ）

A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个

第2题（图形变换 · 矩形折叠）

如图，将矩形纸片 \(ABCD\) 沿对角线 \(AC\) 折叠，使点 \(B\) 落在点 \(B'\) 处，\(AB'\) 与 \(CD\) 交于点 \(E\)。下列结论正确的是（ ）

A. \(\triangle AEC\) 是等边三角形

B. \(AE = CE\)

C. \(\angle B'AC = \angle DAC\)

D. \(AB' = AD\)

填空题

第3题（一次函数 · 面积多解）

一次函数 \(y = -\dfrac{4}{3}x + b\) 的图像与 \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于点 \(A\)、\(B\)。\(O\) 为坐标原点，若 \(\triangle AOB\) 的面积为 \(24\)，则 \(b = \underline{\qquad}\)。

第4题（新定义 · 勾股点）

定义：在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，斜边 \(AB\) 上若存在点 \(P\)，满足 \(CP^2 = AP \cdot BP\)，则称 \(P\) 为斜边 \(AB\) 上的"勾股点"。

如图，在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)。求斜边 \(AB\) 上所有"勾股点"到点 \(A\) 的距离。

答案与简析

第1题

答案：C（3个）

• ① ✓。\((5+1)/(5-1) = 6/4 = 3/2\)。
• ② ✓。\((3+(-1))/(3-(-1)) = 2/4 = 1/2\)。
• ③ ✓。\((a+3)/(a-3) = 2 \Rightarrow a+3 = 2a-6 \Rightarrow a = 9\)。
• ④ ✗。\((x+y)/(x-y)\) vs \((y+x)/(y-x) = -(x+y)/(x-y)\)。两者互为相反数，不相等（除非 x+y=0，此时 a>b 不成立）。

易错：结论④利用"加法交换律"制造假象——分子 \(x+y = y+x\) 确实相等，但分母 \(x-y \neq y-x\)，所以整体不等。学生容易被"分子交换了结果应该相同"的错觉误导。

第2题

答案：B

沿 \(AC\) 折叠后，\(\triangle AB'C \cong \triangle ABC\)。故：

\[ \angle B'AC = \angle BAC \]

在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB \parallel CD\)，由内错角相等：

\[ \angle BAC = \angle ACD \]

因此 \(\angle B'AC = \angle ACD\)。在 \(\triangle AEC\) 中：

\[ \angle EAC = \angle ECA \;\Rightarrow\; AE = CE \quad\text{（等角对等边）} \]

逐一排除其余选项：

• A：无证据表明 \(AE = AC\)，等边不成立。
• C：\(\angle B'AC = \angle BAC\)，而 \(\angle DAC\) 是矩形的对角，与 \(\angle BAC\) 一般不相等。
• D：\(AB' = AB\)，而 \(AD\) 是矩形另一边，\(AB \neq AD\)（非正方形）。

关键链路：折叠 → \(\angle B'AC = \angle BAC\) → 平行 → \(\angle BAC = \angle ACD\) → 串出等腰。

第3题

答案：\(8\) 或 \(-8\)

直线 \(y = -\dfrac{4}{3}x + b\)：

\[ \text{令 }y = 0:\; x = \frac{3b}{4}\;\Rightarrow\; A\left(\frac{3b}{4},\; 0\right) \]

\[ \text{令 }x = 0:\; y = b\;\Rightarrow\; B(0,\; b) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{3b}{4}\right| \cdot |b| = \frac{3b^2}{8} = 24 \]

\[ b^2 = 64 \;\Rightarrow\; b = \pm 8 \]

• \(b = 8\)：\(A(6,0),\; B(0,8)\)，三角形在第二/一象限
• \(b = -8\)：\(A(-6,0),\; B(0,-8)\)，三角形在第三/四象限

面积均为 24。两个解关于原点对称。

与第3组小题第3题的对比：斜率从 \(+2\) 变为 \(-\frac{4}{3}\)，面积从 9 变为 24——但核心"绝对值多解"不变。变换题目参数、保留思维结构，就是打散重排在小题层面的体现。

第4题

答案：\(\dfrac{18}{5}\) 或 \(5\)

Rt\(\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)，\(AB = 10\)。

设 \(P\) 在 \(AB\) 上，\(AP = x\)（\(0 \leq x \leq 10\)），则 \(BP = 10 - x\)。

由勾股点定义 \(CP^2 = AP \cdot BP\)。以 \(C\) 为原点建系：\(C(0,0)\)，\(A(0,6)\)，\(B(8,0)\)。\(AB\) 参数方程：

\[ P\Big(0.8x,\; 6 - 0.6x\Big)\qquad (x = AP) \]

\[ CP^2 = (0.8x)^2 + (6 - 0.6x)^2 = x^2 - 7.2x + 36 \]

代入 \(CP^2 = x(10 - x)\)：

\[ x^2 - 7.2x + 36 = 10x - x^2 \]

\[ 2x^2 - 17.2x + 36 = 0 \]

\[ x^2 - 8.6x + 18 = 0 \]

\[ x = \frac{8.6 \pm \sqrt{8.6^2 - 72}}{2} = \frac{8.6 \pm 1.4}{2} \]

\[ x = 3.6 \;\text{或}\; x = 5 \]

\[ AP = \frac{18}{5} \;\text{或}\; 5 \]

两个解的几何意义：

• \(AP = \frac{18}{5}\)：\(P\) 为斜边高的垂足。此时 \(CP = 4.8\)，满足 \(CP^2 = 3.6 \times 6.4 = 23.04\)。
• \(AP = 5\)：\(P\) 为斜边中点。此时 \(CP = 5\)（斜边中线 = 斜边一半），满足 \(CP^2 = 5 \times 5 = 25\)。

这是一道不依赖"分类穷举"的新定义题——两个解分别来自直角三角形的两个基本性质（高+中线），学生需要理解定义→建方程→解二次方程→验证两个根都有几何意义。

出题思路