中考数学小题专项 — 动点与存在性（八年级）

选择题

第1题（动点 · 等腰存在性）

在平面直角坐标系中，点 \(A\) 的坐标为 \((3, 4)\)，点 \(O\) 为坐标原点。点 \(P\) 在 \(x\) 轴正半轴上，若 \(\triangle OAP\) 为等腰三角形，则满足条件的点 \(P\) 有（ ）

A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个

第2题（动点 · 面积变化）

如图，矩形 \(ABCD\) 中，\(AB = 6\)，\(BC = 8\)。点 \(P\) 从点 \(B\) 出发沿对角线 \(BD\) 向点 \(D\) 匀速运动。设 \(\triangle PBC\) 的面积为 \(S\)，在 \(P\) 从 \(B\) 运动到 \(D\) 的过程中，\(S\) 的变化情况是（ ）

A. 逐渐增大　　B. 逐渐减小　　C. 先增大后减小　　D. 保持不变

填空题

第3题（一次函数 · 面积多解）

在平面直角坐标系中，一次函数 \(y = \dfrac{3}{4}x + b\) 的图像与 \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于点 \(A\)、\(B\)。\(O\) 为坐标原点，若 \(\triangle AOB\) 的面积为 \(24\)，则 \(b = \underline{\qquad}\)。

第4题（动点 · 线段中点轨迹）

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)。点 \(P\) 从点 \(C\) 出发，沿 \(CA\) 向点 \(A\) 运动，速度为每秒 1 个单位。同时，点 \(Q\) 从点 \(C\) 出发，沿 \(CB\) 向点 \(B\) 运动，速度也为每秒 1 个单位。设运动时间为 \(t\) 秒（\(0 \le t \le 6\)），线段 \(PQ\) 的中点为 \(M\)。

(1) 当 \(t = 2\) 时，点 \(M\) 的坐标为 \(\underline{\qquad}\)；

(2) 在运动过程中，点 \(M\) 始终在一条确定的直线上，这条直线的解析式为 \(\underline{\qquad}\)。

答案与简析

第1题

答案：C（3个）

\(OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。设 \(P(p, 0)\)，\(p > 0\)。

• 情形一：\(OP = OA = 5\)。\(p = 5\) ⇒ \(P_1(5, 0)\) ✓
• 情形二：\(AP = OA = 5\)。\(\sqrt{(p-3)^2 + 16} = 5 \Rightarrow (p-3)^2 = 9 \Rightarrow p = 0\) 或 \(6\)。\(p=0\) 时 \(P=O\)（舍去），\(p=6\) ⇒ \(P_2(6, 0)\) ✓
• 情形三：\(OP = AP\)。\(p = \sqrt{(p-3)^2 + 16} \Rightarrow p^2 = p^2-6p+9+16 \Rightarrow 6p = 25 \Rightarrow p = \dfrac{25}{6}\) ⇒ \(P_3\left(\dfrac{25}{6}, 0\right)\) ✓

三个点均在线段 \(x\) 轴正半轴上，且互不重合。

区分点：学生往往漏掉情形二中的 \(p=6\)（以为和 \(OP=5\) 重合？不，分别是5和6），或漏掉情形三（忘了等腰还有"两腰都不等于底"的情况）。

第2题

答案：A（逐渐增大）

以 \(B\) 为原点建系：\(B(0, 0)\)，\(C(8, 0)\)，\(D(8, 6)\)。对角线 \(BD\) 的参数方程：

\[ P(8t,\; 6t), \quad 0 \le t \le 1 \]

\(\triangle PBC\) 中，\(BC = 8\) 在 \(x\) 轴上，高 \(= P\) 到 \(BC\) 的距离 \(= 6t\)（\(P\) 的纵坐标）。

\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6t = 24t \]

\(t\) 从 0 到 1，\(S\) 从 0 线性增大到 24。

关键：P 沿对角线远离 BC → 高增大 → 面积增大。学生若把底选为 BP（长度在变），会陷入复杂计算。选对底（定长的 BC）是这道题的"减负"技巧。

第3题

答案：\(6\) 或 \(-6\)

\[ \text{令 } y = 0:\; x = -\frac{4b}{3} \;\Rightarrow\; A\left(-\frac{4b}{3},\; 0\right) \]

\[ \text{令 } x = 0:\; y = b \;\Rightarrow\; B(0,\; b) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \left|-\frac{4b}{3}\right| \cdot |b| = \frac{2b^2}{3} = 24 \;\Rightarrow\; b^2 = 36 \;\Rightarrow\; b = \pm 6 \]

两个解均满足题意。斜率 \(\frac{3}{4} > 0\)，\(b = \pm 6\) 各产生一个位于不同象限的三角形，面积相同。

第4题

答案：(1) \((1, 1)\)　(2) \(y = -x + 2\)

建系：\(C(0, 0)\)，\(A(0, 6)\)，\(B(8, 0)\)。

\(t\) 秒后：\(P(0, t)\)（沿 \(CA\) 向上），\(Q(t, 0)\)（沿 \(CB\) 向右）。

中点 \(M\)：

\[ M\left(\frac{t}{2},\; \frac{t}{2}\right) \]

(1) \(t = 2\)：\(M(1, 1)\)。

(2) 由 \(x_M = y_M = \dfrac{t}{2}\)，消去 \(t\) 得 \(y_M = x_M\)。

但定义域限制了 \(t \in [0, 6]\) ⇒ \(x_M \in [0, 3]\)。故 \(M\) 的轨迹为线段：\(y = x\)（\(0 \le x \le 3\)）。

修正：\(t\) 秒后，\(P(0, t)\)，但 \(CP = t\) 沿 \(CA\)，\(CA\) 长度 = 6，\(t \le 6\)。\(Q(t, 0)\)，\(CQ = t\) 沿 \(CB\)，\(CB\) 长度 = 8，但 \(t \le 6\)（受 \(CA\) 限制）。\(PQ\) 中点 \(M\left(\dfrac{t}{2}, \dfrac{t}{2}\right)\)。轨迹是 \(y = x\) 上从 \((0, 0)\) 到 \((3, 3)\) 的线段。

出题思路