中考数学小题专项 — 函数图像与性质 + 分类讨论（八年级）

选择题

第1题（一次函数 · 多结论判断）

已知一次函数 \(y = kx + b\) 中，\(k < 0\)，\(b > 0\)。给出以下四个结论：

① 该函数的图像经过第一、二、四象限

② \(y\) 随 \(x\) 的增大而减小

③ 该函数的图像与 \(x\) 轴的交点在原点右侧

④ 该函数的图像经过点 \((0,\; k)\)

其中正确的结论有（ ）

A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个

第2题（反比例函数 · 交点问题）

反比例函数 \(y = \dfrac{6}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 1\) 在同一坐标系中的图像（ ）

A. 没有交点　　B. 恰有 1 个交点　　C. 恰有 2 个交点　　D. 有 3 个交点

填空题

第3题（一次函数 · 面积 · 多解）

一次函数 \(y = 2x + m\) 的图像与 \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于点 \(A\)、\(B\)。\(O\) 为坐标原点，若 \(\triangle AOB\) 的面积为 \(9\)，则 \(m = \underline{\qquad}\)。

第4题（等腰三角形 · 分类多解）

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC = 10\)，\(BC = 12\)。点 \(P\) 在 \(BC\) 边上（点 \(P\) 与点 \(B\) 不重合），若 \(\triangle ABP\) 为等腰三角形，则 \(BP\) 的长为 \(\underline{\qquad}\)。

答案与简析

第1题

答案：C（3个）

\(k < 0,\; b > 0\)：

• ① ✓。k 负 b 正，必过一、二、四象限。
• ② ✓。k < 0 ⇒ y 随 x 增大而减小。
• ③ ✓。与 x 轴交点：\(0 = kx + b \Rightarrow x = -\dfrac{b}{k}\)。k<0, b>0 ⇒ x>0，在原点右侧。
• ④ ✗。x = 0 时 y = b，图像过 (0, b) 而非 (0, k)。除非 k = b，否则不成立。

易错：结论④的陷阱在于把 k 和 b 混淆——k 是斜率，b 是 y 轴截距。"过 (0, k)" 意味着截距等于斜率，一般情况下不成立。

第2题

答案：C（恰有 2 个交点）

联立方程：

\[ \frac{6}{x} = x + 1 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 6 = 0 \]

\[ (x + 3)(x - 2) = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \;\text{或}\; x = 2 \]

两个不相等的实根 ⇒ 两个交点：(−3, −2) 和 (2, 3)。

区分点：反比例+一次函数联立得二次方程，判别式 > 0 ⇒ 两个交点。学生若只画草图可能漏掉一支。

第3题

答案：\(6\) 或 \(-6\)

直线 \(y = 2x + m\)：

\[ \text{令 } y = 0:\; x = -\frac{m}{2}\;\Rightarrow\; A\left(-\frac{m}{2},\; 0\right) \]

\[ \text{令 } x = 0:\; y = m\;\Rightarrow\; B(0,\; m) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \left|-\frac{m}{2}\right| \cdot |m| = \frac{m^2}{4} = 9 \]

\[ m^2 = 36 \;\Rightarrow\; m = \pm 6 \]

• m = 6：A(−3, 0), B(0, 6)，三角形在第二/一象限
• m = −6：A(3, 0), B(0, −6)，三角形在第四/三象限

面积均为 9。多解勿漏，两条直线关于原点对称。

第4题

答案：\(\dfrac{25}{3}\) 或 \(10\) 或 \(12\)

建系：B(0, 0), C(12, 0)。由 AB = AC = 10，A 在 BC 的中垂线 x = 6 上。\(6^2 + h^2 = 10^2 \Rightarrow h = 8\)。故 A(6, 8)。设 P(x, 0)，其中 0 < x ≤ 12。

分三种情形：

情形一：BP = AB = 10。x = 10 ⇒ BP = 10。✓

情形二：AP = BP。\(\sqrt{(x-6)^2 + 64} = x \Rightarrow x^2-12x+36+64 = x^2 \Rightarrow 12x = 100 \Rightarrow x = \frac{25}{3}\)。BP = \(\frac{25}{3}\)。✓

情形三：AP = AB = 10。\(\sqrt{(x-6)^2 + 64} = 10 \Rightarrow (x-6)^2 = 36 \Rightarrow x = 0 \;\text{或}\; 12\)。x = 0 ⇒ P = B（舍去）。x = 12 ⇒ P = C，BP = 12，此时 △ABP 即 △ABC，AB = AC = 10，确为等腰。✓

综上，\(BP = \dfrac{25}{3}\) 或 \(10\) 或 \(12\)。

关键：情形三中 P = C 是合法的边界解——△ABP 退化为原三角形但仍为等腰。分类讨论如不穷举到端点，会漏解。

出题思路