某市居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 15 m³ 的部分，按 3 元/m³ 收费；超过 15 m³ 的部分，按 5 元/m³ 收费。设某户月用水量为 \(x\) m³（\(x > 15\)），应付水费为 \(y\) 元。给出以下四个结论：
① \(y\) 关于 \(x\) 的函数解析式为 \(y = 5x - 30\)
② 当月用水量为 20 m³ 时，水费为 70 元
③ 函数值 \(y\) 随 \(x\) 的增大而减小
④ 若水费为 100 元，则用水量为 26 m³
其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图，为测量一条河的宽度 \(AB\)（\(A\) 在对岸，\(B\) 在此岸，\(AB \perp\) 河岸），测量员从 \(B\) 沿河岸走 20 m 到达点 \(C\)，再从 \(C\) 沿垂直于 \(BC\) 的方向朝河对岸一侧走 15 m 到达点 \(D\)，测得 \(AD = 25\) m。已知 \(\angle ABC = 90^\circ\)，\(\angle BCD = 90^\circ\)。则河宽 \(AB\) 为（ ）
A. 10 m B. 15 m C. 25 m D. 30 m
一架长 10 m 的梯子斜靠在竖直墙面上，梯脚距墙根 6 m。一段时间后梯脚向外滑动了 2 m（梯脚离墙根更远），梯子长度不变。则梯子的顶端沿墙面下滑了 \(\underline{\qquad}\) m。
甲、乙两人从同一地点同向匀速步行。甲先出发 10 分钟，速度为 80 m/min；乙随后出发，速度为 120 m/min。设乙出发 \(x\) 分钟后追上甲。
(1) 根据题意列出方程，解得 \(x = \underline{\qquad}\)；
(2) 此时两人距出发地 \(\underline{\qquad}\) m。
答案：C（3个）
当 \(x > 15\) 时：
\[y = 15 \times 3 + (x - 15) \times 5 = 45 + 5x - 75 = 5x - 30\]
易错：结论③利用"涨价"字眼制造思维定势——涨价意味着费用越来越高，函数当然是递增的，但"阶梯"二字容易让学生产生"分段跳跃=某段下降"的错觉。
答案：D（30 m）
建立坐标系：设 \(B(0, 0)\)，则 \(C(20, 0)\)。由 \(\angle BCD = 90^\circ\) 且 \(D\) 在河对岸一侧，得 \(D(20, 15)\)。设 \(A(0, w)\)（\(w > 0\) 为河宽）。
以 \(B\) 为原点，河岸方向为 \(x\) 轴，垂直河岸方向为 \(y\) 轴建立坐标系：
\[ B(0,0),\; C(20,0),\; D(20,15),\; A(0,w)\;(\text{\(w>0\) 为河宽}) \]
由两点间距离公式：
\[ AD^2 = (20 - 0)^2 + (15 - w)^2 = 400 + (15 - w)^2 \]
\[ 25^2 = 400 + (15 - w)^2 \]
\[ (15 - w)^2 = 225 \]
\[ 15 - w = 15 \;\text{或}\; 15 - w = -15 \]
\[ w = 0\;(\text{舍去}) \;\text{或}\; w = 30 \]
故 \(AB = 30\) m。
区分点：错误选项 B(15 m) 是直接 AD − CD 的减法错误；C(25 m) 是直接取 AD 本身的错误。
答案：2
初始：梯脚距墙 6 m，梯长 10 m ⇒ 梯顶高 \(\sqrt{10^2 - 6^2} = 8\) m。
滑动后：梯脚距墙 \(6 + 2 = 8\) m ⇒ 梯顶高 \(\sqrt{10^2 - 8^2} = 6\) m。
下滑：\(8 - 6 = 2\) m。
易错：直接 \(10 - 8 = 2\) 刚好对，但用 6→8 时梯顶 8→6 是勾股定理的结果，不是简单的"进多少退多少"。
答案：(1) 20 (2) 2400
甲先走 10 min，乙出发时甲已走 \(80 \times 10 = 800\) m。
设乙出发 \(x\) min 后追上甲。此时：
追及时：\(800 + 80x = 120x \;\Rightarrow\; 40x = 800 \;\Rightarrow\; x = 20\)
距出发地：\(120 \times 20 = 2400\) m（或 \(800 + 80 \times 20 = 2400\) m）。
注意单位：题目给的是 m/min 和分钟，答案填数值即可，不写单位。
| 题号 | 情景包装 | 数学核心 | 区分点 |
|---|---|---|---|
| 1 | 阶梯水费 | 一次函数分段解析式 + 单调性判断 | 结论③：学生被"阶梯涨价"字眼干扰，误判函数增减性 |
| 2 | 测量河宽 | 两次勾股定理链式应用 | 需要自己建立坐标系或画辅助线，不能靠直觉猜 |
| 3 | 梯子滑动 | 勾股定理 + 动态变化 | 典型"滑梯问题"——数据凑成勾股数链(6-8-10→8-6-10)，答案简洁 |
| 4 | 追及问题 | 一元一次方程建模 | 列方程不设未知数、忘记×10分钟的领先距离 |
整体设计理念：四道题的数学本身都不超八年级——一道一次函数、一道勾股链、一道勾股动态、一道方程建模。真正的难度不在计算，而在于从情景描述中提取数学结构：水费题需要认出"超量部分另算"就是分段函数，河宽题需要把三次直角（两次已知+一次搭建）串成勾股链，梯子题需要意识到"滑动"改变的是直角边的值而非斜边，追及题需要把"先走10分钟"转化为初始距离差。
与中考趋势的呼应：上海市教育考试院 2026 年《实施细则》明确"重视考查学生在具体情境中综合运用所学知识分析和解决问题的能力"。本期四题均以真实生活场景为外壳，要求学生完成"情景→数学模型→求解"的完整链路，而非直接给出数学条件。
学生常见错误预判：