在等腰 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC\)，\(\angle A = 40^{\circ}\)。\(AB\) 的垂直平分线交 \(AC\) 于点 \(D\)，连接 \(BD\)。则 \(\angle DBC\) 的度数为（ ）
A. \(20^{\circ}\) B. \(30^{\circ}\) C. \(40^{\circ}\) D. \(50^{\circ}\)
直线 \(l\) 经过点 \(A(0, 2)\) 和 \(B(4, 0)\)。将直线 \(l\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(90^{\circ}\) 得到直线 \(l'\)。设 \(l'\) 与 \(x\) 轴交于点 \(C\)，则点 \(C\) 的坐标为（ ）
A. \((-2, 0)\) B. \((-1, 0)\) C. \((0, -1)\) D. \((0, -2)\)
在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)。\(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心。则 \(\triangle AIB\) 的面积为 \_\_\_\_\_\_\_\_。
在等腰 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC = 10\)，\(BC = 16\)。点 \(D\) 在边 \(BC\) 上，且 \(AD = 6\)。则 \(BD\) 的长为 \_\_\_\_\_\_\_\_。
B。\(\angle B = \angle C = (180^{\circ}-40^{\circ})/2 = 70^{\circ}\)。\(D\) 在 \(AB\) 的中垂线上 → \(AD = BD\)。\(\triangle ABD\) 中 \(AD = BD\)，\(\angle DAB = \angle A = 40^{\circ}\) → \(\angle ABD = 40^{\circ}\)。\(\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}\)。
坎：中垂线→\(AD=BD\)→等边对等角。两步传递。
B。\(l\) 斜率 \(= \frac{0-2}{4-0} = -\frac{1}{2}\)。旋转 \(90^{\circ}\) 后斜率 \(= 2\)（垂直，斜率乘积 \(=-1\)）。\(l'\) 过 \(A(0, 2)\)，方程 \(y = 2x + 2\)。令 \(y = 0\)：\(x = -1\)。\(C(-1, 0)\)。
坎：旋转 \(90^{\circ}\) = 斜率变为负倒数，注意绕哪个点转。
10。斜边 \(AB = 10\)。内切圆半径 \(r = \dfrac{6+8-10}{2} = 2\)。内心到三边等距均为 \(r\)。\(S_{\triangle AIB} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 2 = 10\)。
坎：内心到边等距 \(= r\)，把 \(\triangle AIB\) 看成以 \(AB\) 为底、\(r\) 为高的三角形。
8。作 \(AH \perp BC\) 于 \(H\)，\(H\) 为 \(BC\) 中点，\(BH = HC = 8\)。\(AH = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\)。而 \(AD = 6 = AH\)。在 \(BC\) 上到 \(A\) 距离为 \(6\) 的点，最短距离即垂线段 \(AH\)。唯一满足 \(AD = 6\) 的 \(D\) 就是垂足 \(H\)。\(\therefore BD = BH = 8\)。
坎：\(AD = AH = 6\) → \(D = H\)（垂线段最短）。不需列方程，观察即得。