在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)。\(D\) 为斜边 \(AB\) 的中点，点 \(E\) 在边 \(BC\) 上，且 \(DE \perp AB\)。则 \(CE\) 的长为（ ）
A. \(\dfrac{5}{4}\) B. \(\dfrac{7}{4}\) C. \(\dfrac{9}{4}\) D. \(\dfrac{11}{4}\)
将直线 \(y = 2x + 1\) 向上平移 \(m\) 个单位（\(m > 0\)）后，所得直线与两坐标轴围成的三角形面积为 \(4\)。则 \(m =\)（ ）
A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\)
在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB = 10\)，\(BC = 6\)。点 \(E\) 在边 \(BC\) 上，将 \(\triangle ABE\) 沿 \(AE\) 折叠，点 \(B\) 恰好落在边 \(CD\) 上的点 \(F\) 处。则 \(BE\) 的长为 \_\_\_\_\_\_\_\_。
在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B = 2\angle C\)。\(AD\) 平分 \(\angle BAC\) 交 \(BC\) 于点 \(D\)。若 \(AB = 5\)，\(BD = 3\)，则 \(AC\) 的长为 \_\_\_\_\_\_\_\_。
B。\(AB = 10\)。\(D\) 为 \(AB\) 中点。\(\triangle BDE \sim \triangle BCA\)（\(\angle B\) 公共，\(\angle DEB = \angle C = 90^{\circ}\)）。\(\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BD}{BC}\) → \(BE = 10 \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{25}{4}\)。\(CE = 8 - \dfrac{25}{4} = \dfrac{7}{4}\)。
坎：看出 \(\triangle BDE \sim \triangle BCA\)。
C。平移后 \(y = 2x + (1+m)\)。\(x\) 截距 \(= -\dfrac{1+m}{2}\)，\(y\) 截距 \(= 1+m\)。\(S = \dfrac{(1+m)^2}{4} = 4\) → \(m = 3\)（\(m>0\)）。
坎：面积用截距表达，注意平移后截距是 \(1+m\) 而非 \(m\)。
\(\dfrac{10}{3}\)。折叠：\(AF = AB = 10\)。建系 \(A(0,6), B(10,6), C(10,0), D(0,0)\)。\(F\) 在 \(CD\)（\(y=0\)）上：\(AF^2 = x_F^2 + 36 = 100\) → \(F(8,0)\)。\(E\) 在 \(BC\)（\(x=10\)）上，设 \(E(10, y)\)。\(EF = EB\) → \(\sqrt{4 + y^2} = 6 - y\) → \(y = \dfrac{8}{3}\)。\(BE = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}\)。
坎：折叠带来的两个等量——先 \(AF=AB\) 定 \(F\)，再 \(EF=EB\) 求 \(E\)，顺序不能错。
8。在 \(AC\) 上截取 \(AE = AB = 5\)，连 \(DE\)。\(\triangle ABD \cong \triangle AED\)（SAS）。\(\angle AED = \angle B = 2\angle C\)。又 \(\angle AED = \angle C + \angle CDE\)（外角），故 \(\angle CDE = \angle C\) → \(CE = DE = BD = 3\)。\(AC = AE + EC = 5 + 3 = 8\)。
坎：辅助线 \(AE = AB\) 是"截长"构造——把角度条件 \(\angle B = 2\angle C\) 转化为等腰 \(CE = DE\)。八年级截长补短的经典模型。