中考数学小题专项 — 多结论判断与分类讨论（八年级）

选择题

第1题（多结论判断 · 一次函数）

已知一次函数 \(y = kx + b\;(k \neq 0)\) 的图像经过点 \(A(2, 5)\) 和 \(B(-1, -1)\)。给出以下四个结论：

① 该函数的解析式为 \(y = 2x + 1\)

② 该函数的图像经过第一、二、三象限

③ 点 \(C(0, 1)\) 在该函数的图像上

④ 若点 \(P(a,\, 2a+1)\) 在该函数的图像上，则 \(a\) 的值为 \(1\)

其中正确的结论有（ ）

A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个

第2题（条件推理 · 平行四边形判定）

在四边形 \(ABCD\) 中，下列条件中不能判定四边形 \(ABCD\) 是平行四边形的是（ ）

A. \(AB = CD\)，\(AD = BC\)

B. \(AB \parallel CD\)，\(AB = CD\)

C. \(\angle A = \angle C\)，\(\angle B = \angle D\)

D. \(AB = CD\)，\(AD \parallel BC\)

填空题

第3题（一次函数与面积 · 多解）

直线 \(y = -\dfrac{3}{4}x + b\) 与 \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于点 \(A\)、\(B\)。\(O\) 为坐标原点，若 \(\triangle AOB\) 的面积为 \(24\)，则 \(b = \underline{\qquad}\)。

第4题（等腰三角形 · 分类多解）

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC = 5\)，\(BC = 6\)。点 \(P\) 在 \(BC\) 边上（点 \(P\) 与点 \(B\) 不重合），若 \(\triangle ABP\) 为等腰三角形，则 \(BP\) 的长为 \(\underline{\qquad}\)。

答案与简析

第1题

答案：C（3个）

由 \(A(2,5)\)、\(B(-1,-1)\) 得 \(k = \frac{5-(-1)}{2-(-1)} = 2\)，代入得 \(b = 1\)。解析式为 \(y = 2x + 1\)。

• ① 正确。\(k=2,\;b=1\)。
• ② 正确。\(k>0,\;b>0\) ⇒ 图像过一、二、三象限。
• ③ 正确。\(x=0\) 时 \(y=1\)，点 \((0,1)\) 在直线上。
• ④ 错误。点 \(P(a,\,2a+1)\) 坐标恰好满足 \(y = 2x + 1\)，故 \(P\) 恒在该直线上——\(a\) 可取任意实数，不是只有 \(a=1\)。

易错：学生把 \(2a+1 = 2a+1\) 化简得 \(0 = 0\) 后，容易误认为"解出 \(a\) 的值"就是代公式得 \(a=1\)。

第2题

答案：D

逐一验证平行四边形判定定理：

• A：两组对边分别相等 ⇒ 平行四边形 ✓
• B：一组对边平行且相等 ⇒ 平行四边形 ✓（八年级重点定理）
• C：两组对角分别相等 ⇒ 平行四边形 ✓
• D：一组对边相等，另一组对边平行 ⇒ 不能判定。反例：等腰梯形（\(AD \parallel BC\)，两腰 \(AB = CD\)，但不是平行四边形）

记法：需同时出现「平行 + 相等」于同一组对边才判定▱；分散在两组对边则不行。

第3题

答案：\(6\) 或 \(-6\)

直线 \(y = -\frac{3}{4}x + b\)：

• 令 \(y = 0\)：\(x = \frac{4b}{3}\)，故 \(A\left(\frac{4b}{3},\,0\right)\)
• 令 \(x = 0\)：\(y = b\)，故 \(B(0,\,b)\)

\(\triangle AOB\) 为直角三角形（坐标轴上），面积：

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{4b}{3}\right| \cdot |b| = \frac{2}{3}b^2 = 24 \]

解得 \(b^2 = 36\)，故 \(b = 6\) 或 \(b = -6\)。

• \(b=6\)：\(A(8,0),\;B(0,6)\)，三角形在第一象限
• \(b=-6\)：\(A(-8,0),\;B(0,-6)\)，三角形在第三象限

两个解对应的三角形面积相同。多解填空题务必验证两种情形均在定义域内。

第4题

答案：\(\dfrac{25}{6}\) 或 \(5\) 或 \(6\)

建立坐标系：\(B(0,0)\)，\(C(6,0)\)。由 \(AB = AC = 5\)，等腰三角形顶点 \(A\) 在 \(BC\) 中垂线上，\(A(3,\,h)\) 且 \(3^2 + h^2 = 5^2\)，得 \(h = 4\)。故 \(A(3,4)\)。

设 \(P(x, 0)\)，其中 \(0 < x \leq 6\)（\(P \neq B\)）。分三种情形：

情形一：\(BP = AB = 5\)

\(BP = |x - 0| = x = 5\)。\(P(5, 0)\) 在线段 \(BC\) 上 ✓。此时 \(BP = 5\)。

情形二：\(AP = BP\)

\(\sqrt{(x-3)^2 + 4^2} = x\;\Rightarrow\;x^2-6x+9+16 = x^2\;\Rightarrow\;6x = 25\;\Rightarrow\;x = \frac{25}{6}\)。此时 \(BP = \frac{25}{6}\) ✓。

情形三：\(AP = AB = 5\)

\(\sqrt{(x-3)^2 + 4^2} = 5\;\Rightarrow\;(x-3)^2 = 9\;\Rightarrow\;x-3 = \pm 3\)。

• \(x = 0\) ⇒ \(P = B\)，与题意「\(P\) 与 \(B\) 不重合」矛盾，舍去
• \(x = 6\) ⇒ \(P = C\)，此时 \(BP = BC = 6\)。\(\triangle ABP\) 即 \(\triangle ABC\)，有 \(AB = AC = 5\)，确为等腰 ✓

综上，\(BP = \dfrac{25}{6}\) 或 \(5\) 或 \(6\)。

出题思路