观察下列等式：
\[ (x-1)(x+1) = x^2 - 1 \]
\[ (x-1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 \]
\[ (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1 \]
根据以上规律，\(2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1\) 的值等于（ ）
A. \(2^7 - 1\) B. \(2^6 + 1\) C. \(2^6 - 1\) D. \(2^7 + 1\)
在等腰三角形中，一个内角的度数是另一个内角度数的 \(2\) 倍。这个等腰三角形的顶角的度数为 \_\_\_\_\_\_。
提示：结果可能不止一个，全部写出。
已知 \(a + b = 7\)，\(ab = 10\)，则 \(a^2 + b^2\) 的值为 \_\_\_\_\_\_。
答案：A（\(2^7 - 1\)）
简析：由规律 \((x-1)(x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1) = x^{n+1} - 1\)。
令 \(x = 2\)，\(n = 6\)，得：
\[ (2-1)(2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1) = 2^7 - 1 \]
因为 \(2-1 = 1\)，所以左边括号内的式子直接等于 \(2^7 - 1 = 128 - 1 = 127\)。
误区分析：
知识定位：七年级·整式乘法公式的推广。此题也可用等比数列求和（但无需引入该概念）。
答案：\(36^\circ\) 或 \(90^\circ\)
简析：设等腰三角形的顶角为 \(\alpha\)，两个底角均为 \(\beta\)。三角形内角和：\(\alpha + 2\beta = 180^\circ\)。
情况一：顶角是底角的 2 倍
\[ \alpha = 2\beta,\quad 2\beta + 2\beta = 180^\circ \;\Rightarrow\; 4\beta = 180^\circ \;\Rightarrow\; \beta = 45^\circ \]
\[ \alpha = 2 \times 45^\circ = 90^\circ \]
此时三角形为等腰直角三角形（底角 45°+45°，顶角 90°）。
情况二：底角是顶角的 2 倍
\[ \beta = 2\alpha,\quad \alpha + 2(2\alpha) = 180^\circ \;\Rightarrow\; 5\alpha = 180^\circ \;\Rightarrow\; \alpha = 36^\circ \]
此时底角为 \(72^\circ\)，顶角为 \(36^\circ\)（即"黄金三角形"）。
答：顶角的度数为 \(36^\circ\) 或 \(90^\circ\)。
易错点：
知识定位：八年级上·等腰三角形性质 + 七年级·三角形内角和 + 分类讨论。
答案：\(29\)
简析：不需求出 \(a\) 和 \(b\) 的具体值，直接用乘法公式：
\[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29 \]
验证：由 \(a+b=7\)，\(ab=10\)，可知 \(a\)、\(b\) 是方程 \(t^2 - 7t + 10 = 0\) 的两根，即 \((t-2)(t-5)=0\)，得 \(a=2, b=5\)（或反之）。\(2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29\)。✓
知识定位：七年级·完全平方公式 + 整体代入思想。不直接解方程而用公式变形，是代数运算的高级技巧。
题型定位：本期对应小题轮换第8轮"规律探究与开放"，应户主要求聚焦八年级下之前的初中知识点，三题分别来自七年级·整式、八年级上·等腰三角形、七年级·乘法公式，覆盖代数规律、几何分类、代数运算三大维度。
三题设计逻辑：
| 题号 | 年级定位 | 核心能力 | 难度层次 |
|---|---|---|---|
| 第1题 | 七下 | 整式规律归纳、等比数列求和（隐式） | 基础 |
| 第2题 | 八上 | 等腰三角形双解分类、内角和 | 中档（两解区分度） |
| 第3题 | 七上/七下 | 乘法公式逆用、整体代入 | 基础 |
趋势契合度：
学生常见错误预判：