一座抛物线形石拱桥，跨度 \(AB = 20\ \mathrm{m}\)，拱顶 \(O\) 到桥面 \(AB\) 的垂直距离为 \(5\ \mathrm{m}\)。以拱顶 \(O\) 为原点、竖直向下为 \(y\) 轴正方向建立坐标系，拱形恰好满足 \(y = ax^2\;(a > 0)\)。
图：拱桥剖面。水位越高，水面越窄。
（1）求抛物线的解析式（用 \(x\) 表示 \(y\)）：\_\_\_\_\_\_。
（2）正常水位时，水面宽 \(16\ \mathrm{m}\)，水面到拱顶 \(O\) 的距离为 \_\_\_\_\_\_ \(\mathrm{m}\)。
（3）汛期水位上涨，当水面宽度缩至 \(12\ \mathrm{m}\) 时，相比于正常水位，水面上升了 \_\_\_\_\_\_ \(\mathrm{m}\)。
小明在地面上用两种方式测量一座信号塔 \(CD\) 的高度。
方式一（直接法）：在距塔底 \(30\ \mathrm{m}\) 的 \(A\) 处，测得塔顶 \(D\) 的仰角为 \(30^\circ\)。
方式二（双点法）：从某处 \(A\) 向塔的方向前进 \(20\ \mathrm{m}\) 到达 \(B\) 处，测得塔顶仰角为 \(45^\circ\)，在 \(A\) 处仰角为 \(30^\circ\)。
图：\(C\) 为塔底，\(D\) 为塔顶。方式一的 \(AC = 30\ \mathrm{m}\)，方式二的 \(AB = 20\ \mathrm{m}\)。两组数据各自独立。
（1）仅用方式一的数据，塔高 \(CD =\) \_\_\_\_\_\_ \(\mathrm{m}\)。（结果保留根号）
（2）用方式二的数据，塔高 \(CD =\) \_\_\_\_\_\_ \(\mathrm{m}\)。（结果保留根号）
（3）塔顶 \(D\) 到 \(A\) 处的直线距离为 \_\_\_\_\_\_ \(\mathrm{m}\)。（用方式一的结果计算，保留根号）
某班一次数学测验，15 名学生的成绩（满分 100）如下：
\[ 42,\; 55,\; 58,\; 62,\; 65,\; 68,\; 70,\; 72,\; 75,\; 78,\; 80,\; 82,\; 85,\; 90,\; 95 \]
（1）该组数据的四分位距 \(\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 =\) \_\_\_\_\_\_。
（2）按照箱线图的离群值判定规则：上边缘 \(= Q_3 + 1.5 \times \mathrm{IQR}\)，下边缘 \(= Q_1 - 1.5 \times \mathrm{IQR}\)。超出上下边缘的数据点称为异常值。则该组数据中 \_\_\_\_\_\_（填"有"或"没有"）异常值。
（3）去掉最高分和最低分后，剩余 13 人成绩的方差将变 \_\_\_\_\_\_（填"大"或"小"），说明成绩的离散程度 \_\_\_\_\_\_（填"增大"或"减小"）。
答案：（1）\(y = \dfrac{1}{20}x^2\) （2）\(3.2\) （3）\(1.4\)
简析：
（1）拱桥跨度 \(20\ \mathrm{m}\) → 半宽 \(10\ \mathrm{m}\)。拱高 \(5\ \mathrm{m}\)（从拱顶到桥面）。代入 \(y = ax^2\)：
\[ 5 = a \cdot 10^2 \;\Rightarrow\; a = \frac{5}{100} = \frac{1}{20},\quad y = \frac{1}{20}x^2 \]
（2）正常水位水面宽 \(16\ \mathrm{m}\) → 半宽 \(x = 8\)：
\[ y = \frac{1}{20} \cdot 8^2 = \frac{64}{20} = 3.2\ \mathrm{m} \]
含义：水面在拱顶下方 \(3.2\ \mathrm{m}\)（注意 \(y\) 轴向下为正）。
（3）汛期水面宽 \(12\ \mathrm{m}\) → 半宽 \(x = 6\)：
\[ y = \frac{1}{20} \cdot 6^2 = \frac{36}{20} = 1.8\ \mathrm{m} \]
上升量 = \(3.2 - 1.8 = 1.4\ \mathrm{m}\)。
关键陷阱：\(y\) 轴向下为正 → \(y\) 越小表示水位越高（越靠近拱顶）。上升量是 \(y_{\text{正常}} - y_{\text{汛期}}\)，不是反过来。
知识定位：九年级·二次函数建模（抛物线形拱桥）。
答案：（1）\(10\sqrt{3}\) （2）\(10\sqrt{3} + 10\) （3）\(20\sqrt{3}\)
简析：
（1）方式一：仰角 \(30^\circ\)，水平距离 \(AC = 30\ \mathrm{m}\)。
\[ \tan 30^\circ = \frac{CD}{30} \;\Rightarrow\; CD = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m} \]
（2）方式二：设 \(CD = h\)。在 \(B\) 处仰角 \(45^\circ\) → \(\tan 45^\circ = \dfrac{h}{BC} = 1\) → \(BC = h\)。
在 \(A\) 处仰角 \(30^\circ\)，\(AC = BC + 20 = h + 20\)：
\[ \tan 30^\circ = \frac{h}{h + 20} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
\[ 3h = \sqrt{3}(h + 20) \;\Rightarrow\; (3 - \sqrt{3})h = 20\sqrt{3} \]
\[ h = \frac{20\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3} + 60}{6} = 10\sqrt{3} + 10 \]
说明：方式一和方式二是两组独立的测量场景（不同位置或不同塔），各小题独立求解即可。第(3)问用方式一的数据计算。
（3）用方式一的数据：\(AD = \sqrt{CD^2 + AC^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + 30^2} = \sqrt{300 + 900} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}\)。
关键思维：双点法中"仰角 \(45^\circ\)"意味着观测点到塔底的距离等于塔高——这是锐角三角比测高题的突破口。
知识定位：九年级·锐角三角比的实际应用（仰角测高 + 双角联立方程）。
答案：（1）\(20\) （2）没有 （3）小，减小
简析：
（1）15 个数据已排序。四分位位置用 \((n+1)\) 法：
\[ \mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 = 82 - 62 = 20 \]
（2）判定异常值：
\[ \text{上边缘} = Q_3 + 1.5 \times 20 = 82 + 30 = 112 \]
\[ \text{下边缘} = Q_1 - 1.5 \times 20 = 62 - 30 = 32 \]
所有数据均在 \([32, 112]\) 范围内（最小 \(42 > 32\)，最大 \(95 < 112\)）。结论：没有异常值。
（3）去掉最低分 \(42\) 和最高分 \(95\) 后，剩余 13 个数据聚集在 \(55\sim90\) 之间，更加集中，方差变小。方差越小，离散程度越小。
关键理解：四分位距（IQR）衡量中间 50% 数据的跨度，不受极端值影响——这就是箱线图用 IQR 而非全距来判断异常值的原因。
知识定位：九年级·统计（四分位数、箱线图、离群值判定）——中考新考纲新增知识点。
题型定位：本期为情景应用题专项，三题全部以真实情境包装，覆盖三个九年级核心知识模块——二次函数建模、锐角三角比测高、统计箱线图。对标中考第22题（综合与实践）及第17题（应用填空）。难度 ★★★★☆（中等偏上）。
三题情境—知识映射：
| 题号 | 情境 | 数学模型 | 中等偏上的"坎" |
|---|---|---|---|
| 第1题 | 古桥水位监测 | 二次函数 \(y=ax^2\) | 坐标系建立+水位"上升"的y轴方向理解（三小问递进） |
| 第2题 | 信号塔双法测高 | 锐角三角比 \(\tan\) | 双角联立方程+根式化简+两组数据的独立处理 |
| 第3题 | 班级测验分析 | 四分位数/IQR/箱线图 | 新概念（IQR+离群值判定规则）+方差定性判断 |
趋势契合度：
学生常见错误预判：