某商店销售一款文具，进价为每件 \(40\) 元。售价定为 \(60\) 元时，每天可售出 \(80\) 件。调查发现：售价每降低 \(2\) 元，日销量增加 \(10\) 件。设降价后的售价为 \(x\) 元（\(40 < x \leqslant 60\)）。
若要使每天的利润恰好达到 \(1615\) 元，售价应定为 \_\_\_\_\_\_ 元。
提示：结果可能不止一个，全部写出。
甲、乙两车分别从 \(A\)、\(B\) 两地同时出发，相向而行。甲车速度为 \(50\ \mathrm{km/h}\)，乙车速度为 \(30\ \mathrm{km/h}\)。两车相遇后，甲车继续行驶 \(3\) 小时到达 \(B\) 地。则 \(A\)、\(B\) 两地的距离为 \_\_\_\_\_\_ \(\mathrm{km}\)。
如图，路灯 \(P\) 距地面 \(6.4\ \mathrm{m}\)。身高 \(1.6\ \mathrm{m}\) 的小明站在距路灯底部 \(B\) 的某一位置，头顶 \(M\) 与路灯 \(P\) 的连线延长后落在地面点 \(S\) 处（即影子的顶端）。已知小明的影长 \(BS = 1.5\ \mathrm{m}\)，则此时小明与路灯底部的距离 \(BM =\) \_\_\_\_\_\_ \(\mathrm{m}\)。
图：光线从路灯 \(P\) 过小明头顶 \(M\) 落在地面 \(S\)。\(BB'\) 为小明到路灯的距离（待求）。
答案：\(57\) 或 \(59\)
简析：设售价为 \(x\) 元，每件利润 \(x - 40\)。
降价 \(60-x\) 元 → 销量增加 \(\dfrac{10}{2} \times (60-x) = 5(60-x)\) 件。
日销量：\(80 + 5(60 - x) = 380 - 5x\)。
日利润：
\[ P = (x - 40)(380 - 5x) = -5x^2 + 580x - 15200 \]
令 \(P = 1615\)：
\[ -5x^2 + 580x - 15200 = 1615 \]
\[ -5x^2 + 580x - 16815 = 0 \]
\[ x^2 - 116x + 3363 = 0 \]
\[ (x - 57)(x - 59) = 0 \]
\[ x = 57 \;\text{或}\; x = 59 \]
两解均满足 \(40 < x \leqslant 60\)。实际含义：
经营启示：薄利多销（降价多、销量大）和高利少销（降价少、销量小）可以达到相同的总利润——企业需根据产能和品牌定位选择策略。
知识定位：八年级下·一元二次方程的实际应用（利润=单件利润×销量）。
答案：\(400\)
简析：设相遇时两车各行驶了 \(t\) 小时。
甲走的路程 = \(50t\)，乙走的路程 = \(30t\)。AB 距离 = \(50t + 30t = 80t\)。
相遇后，甲从相遇点继续开往 B 地。相遇点到 B 地的距离 = 乙在相遇前从 B 地开出的距离 = \(30t\)。
甲以 \(50\ \mathrm{km/h}\) 开完这段距离需要：
\[ \frac{30t}{50} = 3 \;\Rightarrow\; 30t = 150 \;\Rightarrow\; t = 5 \]
\[ AB = 80 \times 5 = 400\ \mathrm{km} \]
验证：
关键思维：不需要设 AB 距离为未知数——直接利用"相遇点到 B 的距离 = 乙在相遇前走的路程"这一行程问题的核心关系。
知识定位：六年级·行程问题 + 七年级·一元一次方程。
答案：\(4.5\)
简析：由光线直线传播，\(\triangle PMS \sim \triangle B'MS\)（或直接用平行线分线段成比例）。
路灯 \(PB \perp\) 地面，小明 \(MB' \perp\) 地面，故 \(PB \parallel MB'\)。
由相似三角形性质：
\[ \frac{MB'}{PB} = \frac{SB'}{SB} \]
其中 \(PB = 6.4,\; MB' = 1.6,\; SB' = BS = 1.5\)（影子长）。
\[ \frac{1.6}{6.4} = \frac{1.5}{SB} \;\Rightarrow\; \frac{1}{4} = \frac{1.5}{SB} \;\Rightarrow\; SB = 6 \]
路灯底部到影子顶端距离 \(SB = 6\ \mathrm{m}\)。
小明到路灯距离：
\[ BM = SB - SM = SB - BS = 6 - 1.5 = 4.5\ \mathrm{m} \]
关键能力：将实际场景（路灯、人影）翻译为相似三角形模型，正确对应边的比例关系。
知识定位：九年级·相似三角形（或六年级·比和比例 + 八年级·一次函数视角的直线）。
题型定位：本期为应用题专项，三题分别覆盖利润定价、行程相遇、几何测距三种中考常见应用情境。对标中考第22题（综合与实践）及第17题（应用填空）。
三题设计逻辑：
| 题号 | 情境 | 数学模型 | 核心能力 | 年级 |
|---|---|---|---|---|
| 第1题 | 商品定价 | 一元二次方程 | 构建利润函数→解二次方程→两解讨论 | 八下 |
| 第2题 | 相向相遇 | 一次方程 | 相遇前后路程关系→不设AB直接求解 | 六/七 |
| 第3题 | 路灯测距 | 相似三角形 | 光线模型→相似比→代数求解 | 九/八 |
趋势契合度：
学生常见错误预判：