中考数学小题专项 — 动点与存在性

易错点：学生可能误以为③中 \(S\) 在 \(BC\) 段仍与 \(t\) 正相关（实际是递减），导致错判。

第2题

答案：\((0, \sqrt{6})\) 或 \((0, -\sqrt{6})\)

简析：设 \(P(0, t)\)。

\(\angle APB = 90^\circ\) 等价于 \(AP^2 + BP^2 = AB^2\)（勾股定理逆定理在直角三角形中的等价形式）。

\[ AP^2 = (0+2)^2 + t^2 = t^2 + 4 \]

\[ BP^2 = (0-3)^2 + t^2 = t^2 + 9 \]

\[ AB = 5,\quad AB^2 = 25 \]

\[ (t^2+4) + (t^2+9) = 25 \;\Rightarrow\; 2t^2 = 12 \;\Rightarrow\; t^2 = 6 \;\Rightarrow\; t = \pm\sqrt{6} \]

两个解均满足条件（\(P\) 在 \(y\) 轴正半轴或负半轴均可构成直角三角形）。

关键能力：将"直角"条件转化为勾股方程，而非依赖三角比或斜率乘积。

第3题

答案：\(5\) 或 \(\dfrac{25}{8}\)

简析：以 \(BC\) 为 \(x\) 轴，\(B\) 为原点建系：\(B(0,0)\)，\(C(8,0)\)。

等腰 \(\triangle ABC\) 中 \(AB=AC=5\)，底边 \(BC=8\)，高 \(h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)，故 \(A(4, 3)\)。

设 \(D(x, 0)\)，\(0 < x < 8\)。\(\triangle ABD\) 为等腰三角形，分三种情况：

• \(AB = BD\)：\(BD = x = 5\)。→ \(x = 5\) ✓（在区间内）
• \(AD = BD\)：

\[ AD^2 = (4-x)^2 + 9,\quad BD^2 = x^2 \]

\[ (4-x)^2 + 9 = x^2 \;\Rightarrow\; 16 - 8x + x^2 + 9 = x^2 \;\Rightarrow\; 25 = 8x \;\Rightarrow\; x = \frac{25}{8} = 3.125 \]

✓（在区间内）

• \(AD = AB\)：\((4-x)^2 + 9 = 25 \Rightarrow (4-x)^2 = 16 \Rightarrow 4-x = \pm 4 \Rightarrow x = 0\) 或 \(x = 8\)。均为端点，舍去。

综上，\(BD = 5\) 或 \(BD = \dfrac{25}{8}\)。

易错点：(1) 漏掉 \(AD=BD\) 的情况——学生常只考虑"腰与底边"的对应，忘了"底边也可以是等腰三角形的腰"；(2) \(AD=AB\) 情况得出 \(x=0,8\) 后不检查端点。

出题思路

题型定位：本期对应小题轮换第6轮"动点与存在性"，对标中考选择题#5~6（多结论判断）和填空题#17~18（存在性多解/新定义）。

三题设计逻辑：

趋势契合度：

• ✅ 难度6:3:1：第1题入口极低（只需计算一个三角形面积），第3题需完整分类讨论
• ✅ 去套路化：第2题不提示"用勾股定理"——学生需自己识别∠APB=90°→勾股方程；第3题不提示"三种等腰情况"——学生需自己穷举
• ✅ 中档题区分度：第2题看似简单（直角→勾股），但很多学生只写一个解（忘了负半轴），体现"在细微处拉开差距"
• ✅ 坐标法建系：第3题引导学生用坐标法处理几何存在性问题——这是第24/25题的核心方法
• ✅ 实际计算含根号：第2题答案为\(\sqrt{6}\)，不是整数——训练学生接受"不漂亮"的答案，避免"算出根号就觉得错了"的心理

学生常见错误预判：

1. 第1题③：以为 \(S\) 随 \(t\) 增大而一直增大，忽略 \(BC\) 段面积递减
2. 第2题：只写正半轴的解，漏掉 \(-\sqrt{6}\)
3. 第3题：在 \(AD=BD\) 情况下列方程后解不出来（二次项抵消是关键）；或把 \(AD=AB\) 情况的端点解 \(x=0,8\) 也当答案写上