中考数学小题专项 — 函数与几何分类讨论

选择题

第1题

已知关于 \(x\) 的一次函数 \(y = (m-1)x - m + 3\)（\(m\) 为常数）。给出下列四个结论：

① 无论 \(m\) 取何值，该函数的图像都经过定点 \((1, 2)\)

② 若该函数图像不经过第二象限，则 \(m\) 的取值范围是 \(m \geq 3\)

③ 若该函数图像与两坐标轴围成的三角形面积为 \(2\)，则 \(m = 2\)

④ 当 \(m < 1\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小

其中正确结论的个数是（ ）

A. \(1\) 个   B. \(2\) 个   C. \(3\) 个   D. \(4\) 个

第2题

已知等腰三角形的两边长分别为方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的两个根，则该等腰三角形的周长为（ ）

A. \(7\)   B. \(8\)   C. \(7\) 或 \(8\)   D. 无法确定

填空题

第3题

如图，在 \({\rm Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)。点 \(P\) 在边 \(AB\) 上，且 \(\triangle ACP\) 为等腰三角形，则 \(AP\) 的长为 \_\_\_\_\_\_。

图：\(P\) 在斜边 \(AB\) 上运动，\(\triangle ACP\) 何时等腰？需分类讨论三种边相等情况。

第4题

关于 \(x\) 的一元二次方程 \((m-2)x^2 - 2x + m + 2 = 0\) 有两个实数根，则整数 \(m\) 的值有 \_\_\_\_\_\_ 个。

答案与简析

第1题

答案：C（3 个）

简析：

• ① 将 \(x=1\) 代入：\(y=(m-1) \times 1 - m + 3 = m-1-m+3=2\)。定点 \((1,2)\) 恒成立。✓
• ② 不经过第二象限需同时满足：斜率 \(\geq 0\) 且 \(y\) 轴截距 \(\leq 0\)（或 \(x\) 截距 \(\geq 0\)）。斜率 \(m-1 \geq 0 \Rightarrow m \geq 1\)；\(y\) 截距 \(3-m \leq 0 \Rightarrow m \geq 3\)。取交集得 \(m \geq 3\)。✓
• ③ 检验法：将 \(m=2\) 代入，\(y = x + 1\)，\(x\) 截距 \(-1\)，\(y\) 截距 \(1\)，面积 \(=\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5 \neq 2\)。故 ③ 错误。✗
• （若完整求解：\(\frac{(m-3)^2}{2|m-1|}=2\) 解得 \(m = 5 \pm 2\sqrt{3}\)，均不等于 \(2\)。）
• ④ \(m<1\) 时，斜率 \(m-1<0\)，一次函数递减（\(y\) 随 \(x\) 增大而减小）。✓

正确结论 3 个（①②④）。

第2题

答案：C（\(7\) 或 \(8\)）

简析：

• 解方程 \(x^2-5x+6=0\)：\((x-2)(x-3)=0\)，根为 \(2\) 和 \(3\)。
• 等腰三角形两边长取自此二根，分两种情形：
• 腰 \(=2\)，底 \(=3\)：三边 \((2,2,3)\)，验证 \(2+2>3\) ✓，周长 \(=7\)。
• 腰 \(=3\)，底 \(=2\)：三边 \((3,3,2)\)，验证 \(3+3>2\) ✓，周长 \(=8\)。
• 两种情形均满足三角形三边关系，故周长可能为 \(7\) 或 \(8\)。

第3题

答案：\(5\) 或 \(6\) 或 \(\dfrac{36}{5}\)

简析（坐标法）：

• 以 \(C\) 为坐标原点建立平面直角坐标系：\(C(0,0)\)，\(A(6,0)\)，\(B(0,8)\)，\(AB=10\)。
• 设 \(P\) 在 \(AB\) 上，用参数 \(t = AP\)（\(0 \leq t \leq 10\)）。参数化坐标为 \(P(6-0.6t,\; 0.8t)\)。
• \(\triangle ACP\) 等腰，三种情形逐一排查：

• 经检验，三个解 \(t = 5, 6, \frac{36}{5}\) 均在 \(0 < t \leq 10\) 范围内，且对应点 \(P\) 确在边 \(AB\) 上。

关键技巧：选对底和高是突破口——以 \(C\) 为原点后用参数 \(t\) 表示 \(P\) 坐标，\(CP^2\) 的表达式自动简化为含 \(t\) 的方程，\(t^2\) 项的抵消大幅简化计算。

第4题

答案：\(4\)

简析：

• 方程有两个实数根 \(\Rightarrow \Delta \geq 0\) 且二次项系数不为 \(0\)。
• \(\Delta = (-2)^2 - 4(m-2)(m+2) = 4 - 4(m^2-4) = 4 - 4m^2 + 16 = 20 - 4m^2 \geq 0\)
• \(4m^2 \leq 20 \Rightarrow m^2 \leq 5 \Rightarrow -\sqrt{5} \leq m \leq \sqrt{5}\)
• 又 \(m-2 \neq 0 \Rightarrow m \neq 2\)（保证是一元二次方程）。
• \(\sqrt{5} \approx 2.236\)，在 \([-\sqrt{5}, \sqrt{5}]\) 内的整数为：\(-2, -1, 0, 1\)。
• \(m=2\) 不在取值范围内，故整数 \(m\) 共 4 个。

出题思路

第1题（一次函数多结论判断）：以含参一次函数为载体，四个结论分别考查——定点性质（消参法）、不经过某象限的参数条件、面积与参数的方程、斜率与增减性。其中 ③ 设置"陷阱"：学生只需代入 m=2 检验即可发现不成立，无需完整求解二次方程，考查的是"验证"而非"求解"的解题策略。对标中考选择题#5~6 的多结论判断题。

第2题（等腰三角形分类讨论）：以方程根为边长构造等腰三角形，考点看似简单（解一元二次方程），核心在于"分类讨论"——腰为 2 和腰为 3 两种情形均需验证三边关系。防止学生看到"等腰"就默认两边相等的单一情形。对标填空#17 的分类讨论类。

第3题（勾股定理+等腰存在性）：Rt△ 斜边上的动点 P 使△ACP 等腰——三种边相等情形逐一排查。坐标参数化的关键是选对原点（以 C 为原点），CP² 表达式含 t² 项自动抵消，化为一元一次方程。三解检验定义域后全部有效（t=5, 6, 36/5）。此题融合勾股定理、坐标法、分类讨论，难度对标填空#18。

第4题（判别式+参数范围）：一元二次方程有两个实数根→Δ≥0 且二次项系数≠0。关键步骤：Δ 化简后得到 m²≤5，而非直接给出整数解；需排除 m=2（使方程退化为一次）。考查"条件完整性"——学生常漏掉"二次项系数≠0"这一隐含条件。对标选择/填空的参数求值类。

趋势契合：第3题为几何综合+分类讨论，呼应"去套路化"方向（不提示"哪种情况成立"）；第4题考查条件完整性，呼应"审题能力"导向。四题整体覆盖八年级下一次函数、勾股定理、一元二次方程三大核心模块。