一次函数背景下，动点矩形的面积建模与三角形等积条件分析。以一次函数为主线，融合矩形面积函数（一元二次方程求解）、两解讨论、以及面积平分条件的几何解释。全程仅用八年级下知识：一次函数、坐标几何、一元二次方程、三角形面积公式。体现"去套路化"和"解法多元"的命题趋势。 ---
| 能力 | 对应问号 | 知识来源 |
|---|---|---|
| 一次函数解析式与图像 | (1) | 八下·一次函数 |
| 矩形面积的坐标表达 | (1) | 八下·坐标几何 |
| 一元二次方程的因式分解求解 | (2) | 八下·一元二次方程 |
| 坐标法求三角形面积 | (3) | 八下·坐标几何 |
| 几何条件的等价转化 | (3) | 综合推理 |
在平面直角坐标系中，已知点 \(A(8, 0)\)，\(B(0, 4)\)。直线 \(AB\) 的解析式为 \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\)。
点 \(P\) 在线段 \(AB\) 上（不与端点 \(A\)、\(B\) 重合）。过点 \(P\) 作 \(PE \perp x\) 轴于点 \(E\)，作 \(PF \perp y\) 轴于点 \(F\)，得到矩形 \(OEPF\)。
设点 \(P\) 的横坐标为 \(x\)（\(0 < x < 8\)），用 \(x\) 表示矩形 \(OEPF\) 的面积 \(S\)。
当 \(S = 7.5\) 时，求点 \(P\) 的坐标。（提示：可能不止一个。）
连接 \(OP\)，将四边形 \(OAPB\) 分成 \(\triangle AOP\) 和 \(\triangle BOP\) 两部分。
（i）是否存在点 \(P\)，使这两个三角形的面积相等？若存在，求出此时点 \(P\) 的坐标；若不存在，说明理由。
（ii）在第（i）问求出的位置处，点 \(P\) 与线段 \(AB\) 有什么关系？由此你能得出什么几何规律？
已知：
\[ A(8,0),\; B(0,4),\; \text{直线 } AB: y = -\frac{1}{2}x + 4,\; 0 < x < 8 \]
(1) 矩形 \(OEPF\) 的顶点：
\[ O(0,0),\; E(x,0),\; P(x,\; y_P),\; F(0,\; y_P),\quad y_P = -\frac{1}{2}x + 4 \]
\[ S = OE \cdot OF = x \cdot y_P = x\left(-\frac{1}{2}x + 4\right) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x \]
(2) 三角形面积：
\[ S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot y_P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot y_P = 4y_P \]
\[ S_{\triangle BOP} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot x_P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x = 2x \]
本题的三个问题构成一条思维进阶链：
已知直线 \(y = 2x + 4\) 上一点 \(Q(t, 2t+4)\)（\(t > 0\)）。以 \(OQ\) 为对角线作矩形，边分别平行于坐标轴。求矩形面积 \(S\) 关于 \(t\) 的表达式。
解法：矩形顶点为 \((0,0), (t,0), (t, 2t+4), (0, 2t+4)\)。\(S = t(2t+4) = 2t^2 + 4t\)。
解方程 \(x^2 - 8x + 15 = 0\)。
解法：\((x-3)(x-5) = 0\)，\(x = 3\) 或 \(x = 5\)。
已知 \(M(6, 3)\)，求 \(\triangle OAM\) 面积（\(O\) 为原点，\(A(8, 0)\)）。
解法：以 \(OA = 8\) 为底，\(M\) 的纵坐标 \(y_M = 3\) 为高。\(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12\)。
第一层：矩形 \(OEPF\) 的四个顶点分别是什么？两条边长分别是多少？
第二层：\(OE = x_P\)（\(P\) 的横坐标），\(OF = y_P\)（\(P\) 的纵坐标）。而 \(y_P\) 又等于 \(-\frac{1}{2}x_P + 4\)。
第一层：把 \(S = 7.5\) 代入你得到的面积表达式，得到关于 \(x\) 的一元二次方程。
第二层：方程整理后是 \(x^2 - 8x + 15 = 0\)。因式分解后得到两个 \(x\) 值，均在 \(0 < x < 8\) 范围内。
第三层：对每个 \(x\)，代回 \(y = -\frac{1}{2}x + 4\) 求出对应的 \(y\)。观察两个 \(P\) 点的位置关系——它们关于什么对称？
第一层：（i）分别写出 \(\triangle AOP\) 和 \(\triangle BOP\) 的底和高。注意 \(OA\) 在 \(x\) 轴上（以 \(OA\) 为底），高就是 \(P\) 的纵坐标。类似地，以 \(OB\) 为底时，高是 \(P\) 的横坐标。
第二层：由 \(S_{\triangle AOP} = S_{\triangle BOP}\) 建立方程：\(4y_P = 2x_P\)，即 \(y_P = \frac{x_P}{2}\)。这与 \(P\) 在 \(AB\) 上（\(y_P = -\frac{1}{2}x_P + 4\)）联立，解出 \(x_P = 4\)，\(y_P = 2\)。
第三层：（ii）\(P(4, 2)\) 恰好是线段 \(AB\) 的中点。规律：线段中点处的点到线段两端与原点构成的三角形面积相等。
\(P\) 的纵坐标：\(y_P = -\dfrac{1}{2}x + 4\)（因为 \(P\) 在 \(AB\) 上）。
矩形 \(OEPF\) 中：
\[ OE = |x_P| = x\;(x > 0),\qquad OF = |y_P| = -\frac{1}{2}x + 4\;(y_P > 0) \]
\[ S = OE \cdot OF = x\left(-\frac{1}{2}x + 4\right) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x,\quad 0 < x < 8 \]
\[ -\frac{1}{2}x^2 + 4x = \frac{15}{2} \]
两边乘 \(2\)（消分母）：
\[ -x^2 + 8x = 15 \;\Rightarrow\; x^2 - 8x + 15 = 0 \]
因式分解：
\[ (x - 3)(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \;\text{或}\; x = 5 \]
两个解均在 \((0, 8)\) 内。
观察：\(P_1\) 和 \(P_2\) 关于 \(x = 4\)（即 \(AB\) 的中点的横坐标）对称。
(i) 求等积点
\[ S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot y_P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot y_P = 4y_P \]
\[ S_{\triangle BOP} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot |x_P| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x = 2x \]
令两面积相等：
\[ 4y_P = 2x \;\Rightarrow\; y_P = \frac{x}{2} \]
联立 \(P\) 在 \(AB\) 上：\(y_P = -\dfrac{1}{2}x + 4\)。
\[ \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}x + 4 \;\Rightarrow\; x = 4 \]
代入：\(y_P = -\dfrac{1}{2} \times 4 + 4 = 2\)。
答：存在，\(P(4, 2)\)。
验证面积相等：
\[ S_{\triangle AOP} = 4 \times 2 = 8,\quad S_{\triangle BOP} = 2 \times 4 = 8 \;\checkmark \]
(ii) 几何解释
点 \(P(4, 2)\) 恰好是线段 \(AB\) 的中点（\(A(8, 0)\) 和 \(B(0, 4)\) 的中点坐标：\(\left(\frac{8+0}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (4, 2)\)）。
几何规律：对于以原点 \(O\) 为公共顶点、\(A\) 和 \(B\) 分别在两坐标轴上的三角形 \(\triangle OAB\)，当 \(P\) 为斜边 \(AB\) 的中点时，连接 \(OP\) 将原三角形（或四边形 \(OAPB\)）分成面积相等的两部分。
当 \(\triangle AOP\) 与 \(\triangle BOP\) 面积相等时，由
\[ \frac{1}{2} \cdot OA \cdot y_P = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot x_P \]
得 \(OA \cdot y_P = OB \cdot x_P\)，即动点 \(P\) 到两坐标轴的距离之比等于两轴截距的反比。对本例 \(OA = 8\)、\(OB = 4\)，故 \(y_P : x_P = 4 : 8 = 1 : 2\)。这条射线 \(y = \frac{1}{2}x\) 经过原点，与线段 \(AB\) 恰好交于其中点——这并非巧合，而是由截距比和一次函数的线性性质共同决定的。
| 易错点 | 正确做法 |
|---|---|
| 忘记 \(P\) 在 \(AB\) 上 | \(y_P\) 不是独立变量，必须用直线方程 \(y_P = -\frac{1}{2}x_P + 4\) 代入 |
| 解二次方程漏解 | 方程 \(x^2 - 8x + 15 = 0\) 两个根 \(x = 3, 5\) 都在定义域内，都要保留 |
| 两解的范围不验证 | 每个解都要确认满足 \(0 < x < 8\) 和 \(y > 0\)，本题目中两解均满足 |
| 三角形面积选错底 | \(\triangle AOP\) 的底是 \(OA\)，高是 \(y_P\)（\(P\) 到 \(x\) 轴的垂直距离）；\(\triangle BOP\) 的底是 \(OB\)，高是 \(x_P\) |
| 等积方程列错 | 两三角形的底不相等（8 vs 4），面积相等不代表高相等，而是 \(4y_P = 2x_P\) |
将 \(A\) 改为 \((6, 0)\)，\(B\) 改为 \((0, 6)\)。重复上述三个问题。
提示：\(AB: y = -x + 6\)。矩形面积 \(S = x(-x+6) = -x^2+6x\)。\(S = 8\) 时 \(x = 2\) 或 \(4\)。等积条件 \(y = x\)（因为 \(OA = OB = 6\)），与 \(y = -x+6\) 联立得 \(P(3, 3)\)，恰为中点。
将直线改为反比例函数 \(y = \dfrac{12}{x}\)（\(x > 0\)）。\(A\) 为图像与 \(x = a\) 的交点，\(B\) 为图像与 \(y = b\) 的交点。探讨矩形面积 \(S = xy\) 是否为常数。
提示：\(S = xy = x \cdot \dfrac{12}{x} = 12\)，恒为常数！这是反比例函数的本质特征。
一块直角梯形农田，以 \(O\) 为直角顶点，边界 \(OA\) 沿水渠延伸 800 米，\(OB\) 沿公路延伸 400 米。斜边 \(AB\) 是一条灌溉管道。现要在管道上选一点 \(P\) 建分水站，沿 \(PE\)（⊥ \(OA\)）和 \(PF\)（⊥ \(OB\)）铺设两条分水管，围出一个矩形管理区 \(OEPF\)。
（1）分区面积 \(S\) 如何随 \(P\) 的位置变化？
（2）要使分区面积恰好为 750 平方米（0.75 亩），分水站应在何处？
（3）分水站选在管道中点时，分水站两侧的 \(\triangle AOP\) 和 \(\triangle BOP\) 各自需要独立计费。两区的灌溉面积是否相等？
提示：将 800m、400m 等比例缩小为 8、4，750m² 缩小为 7.5，即原题。
| 题号 | 分值 | 评分要点 |
|---|---|---|
| (1) | 2分 | 正确用 \(x\) 表示 \(y_P\) 得1分；正确写出 \(S = -\frac{1}{2}x^2 + 4x\) 并注明定义域得1分 |
| (2) | 3分 | 列出方程 \(-\frac{1}{2}x^2 + 4x = 7.5\) 并整理为标准形式得1分；因式分解正确得1分；写出两个 \(P\) 的完整坐标得1分 |
| (3)(i) | 3分 | 正确写出两个三角形的面积表达式得1分；列出等积方程并化简得1分；解出 \(P(4, 2)\) 得1分 |
| (3)(ii) | 2分 | 指出 \(P\) 为 \(AB\) 中点得1分；给出几何规律描述（面积平分/中线性质）得1分 |
题型定位：本期在10期轮换中对应 第6期"二次函数+交点+面积"，但为适配八年级下知识边界，将"二次函数"替换为"一次函数背景下的一元二次方程"——本质不变：用二次表达式建模几何量，通过解二次方程得到两解，再引入等积条件触及几何本质。
三问梯度设计：
趋势契合度：
纯八年级知识：一次函数 ✓、坐标几何 ✓、一元二次方程 ✓、三角形面积公式 ✓、线段中点坐标 ✓。全程不涉及九年级的二次函数、相似、圆或三角比。