在平面直角坐标系中，\(A(0, 0)\)，\(B(8, 0)\)。点 \(C\) 在直线 \(y = x\) 上（\(C\) 在第一象限），且满足 \(AC = BC\)。
（1） 求点 \(C\) 的坐标，并判断 \(\triangle ABC\) 的形状。
（2） 求 \(\triangle ABC\) 的面积及其外接圆的半径。
（3） 点 \(P\) 在线段 \(AB\) 上运动（不与端点重合），设 \(P(t, 0)\)。求 \(CP^{2}\) 关于 \(t\) 的表达式，并求 \(CP\) 的最小值及此时点 \(P\) 的位置。
图：\(C\) 在 \(y = x\) 上且 \(AC = BC\)，\(\triangle ABC\) 为等腰直角三角形。虚线 \(y=x\)，\(C\) 到 \(AB\) 的垂足恰为 \(AB\) 中点。
设 \(C(t, t)\)（\(t > 0\)，在 \(y = x\) 上）。
\[ AC^{2} = t^{2} + t^{2} = 2t^{2} \]
\[ BC^{2} = (t - 8)^{2} + t^{2} = 2t^{2} - 16t + 64 \]
由 \(AC = BC\)：
\[ 2t^{2} = 2t^{2} - 16t + 64 \]
\[ 16t = 64 \]
\[ t = 4 \]
\[ \boxed{C(4, 4)} \]
判断形状： \(AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)，\(BC = 4\sqrt{2}\)，\(AB = 8\)。\((4\sqrt{2})^{2} + (4\sqrt{2})^{2} = 32 + 32 = 64 = 8^{2}\)，满足勾股定理。\(\therefore\) \(\triangle ABC\) 为等腰直角三角形，\(\angle C = 90^{\circ}\)。
\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times (\text{高}) = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \]
（高为 \(C\) 到 \(AB\) 的距离，即 \(C\) 的纵坐标 \(4\)。）
外接圆半径： 直角三角形外接圆圆心为斜边中点。\(AB\) 中点 \(M(4, 0)\)。半径 \(R = CM = \sqrt{(4-4)^{2} + (4-0)^{2}} = 4\)。（或直接用公式 \(R = \dfrac{AB}{2} = 4\)。）
\[ \boxed{S = 16,\quad R = 4} \]
\(P(t, 0)\)，\(0 < t < 8\)。
\[ CP^{2} = (t - 4)^{2} + (0 - 4)^{2} = (t - 4)^{2} + 16 \]
\(CP^{2} \ge 16\)，当 \(t = 4\) 时取等号。此时 \(CP = 4\)。
\(t = 4\) 对应 \(AB\) 中点 \(P(4, 0)\)，恰为 \(C\) 在 \(AB\) 上的垂足。
\[ \boxed{CP^{2} = (t-4)^{2} + 16,\quad CP_{\min} = 4\;(P\text{ 为 }AB\text{ 中点})} \]
这道题用了一次函数 \(y = x\) 作为"定位线"——\(C\) 的横纵坐标被锁死为同一个参数 \(t\)，方程 \(AC = BC\) 从二次降为一次（\(t^{2}\) 恰好两边抵消），学生"算着算着发现二次项消失了"——这是命题者埋的第一个惊喜。
(2) 问用两种方式求外接圆半径：一是直接套 \(R = AB/2\)（直角三角形），二是找斜边中点算 \(CM\)。两种方法互相印证，学生在验算中建立信心。
(3) 问把几何最值变成代数配方——\(CP^{2} = (t-4)^{2}+16\)，最小值在 \(t=4\)，此时 \(P\) 恰好是 \(AB\) 中点、\(C\) 的垂足。这是"代数结果有几何对应"的典型例子。
(1) 坐标法建立方程——看到 \(C\) 在 \(y=x\) 上，直接设 \((t,t)\)，这是八年级坐标几何的基本功。(2) 直角三角形性质（外接圆圆心在斜边中点）——从代数结果回到几何性质。(3) 二次函数（完全平方）求最值——配方即得，不需要计算器。
卡在 (1) 的方程建立：设 \(C(t,t)\) 后，部分学生写 \(AC^{2} = (t-0)^{2}+(t-0)^{2}\) 没问题，但 \(BC^{2}\) 写成 \((t-8)^{2}+t^{2}\) 时会漏掉 \(t^{2}\) 或者写错符号。另外，解出 \(t=4\) 后，部分学生不验证 \(\triangle ABC\) 是否为直角三角形（题目明确问了"判断形状"），直接跳到 (2)。
等腰直角三角形的"隐蔽"构造。 题目没有说 \(\triangle ABC\) 是直角三角形——它只说 \(C\) 在 \(y=x\) 上且 \(AC=BC\)。但配出来的数字恰好使 \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\)，直角是"算出来"的，不是"给出来"的。这是八年级"先算后代"的经典训练。
核心考点：坐标法、两点距离公式、等腰三角形判定、勾股定理逆定理、直角三角形外接圆、二次函数配方法。
关键转化：(1) 设 \(C(t,t)\) 将一个未知数替代两个坐标——这是坐标几何的核心技巧。(3) 几何最值化为代数函数——\(CP\) 的最值变成 \((t-4)^{2}+16\) 的最小值。
易错点：
区分度来源：(1) 方程建立和 \(t^{2}\) 相消的观察；(3) 最值的几何解释。
10维自检：