在平面直角坐标系中，\(A(0, 6)\)，\(B(6, 0)\)。点 \(P\) 在线段 \(AB\) 上（不与端点重合），设 \(P(m, n)\)。
（1） 若 \(OP\) 恰好平分 \(\triangle AOB\) 的面积，求点 \(P\) 的坐标。
（2） 若 \(\triangle AOP\) 为等腰三角形，求所有满足条件的点 \(P\) 的坐标。
（3） 设 \(\triangle BOP\) 的面积为 \(S\)，求 \(S\) 关于 \(m\) 的函数表达式，并写出 \(S\) 的取值范围。
图：\(A(0,6)\)，\(B(6,0)\)。\(P\) 在线段 \(AB\) 上（图示 \(P\) 为 \(AB\) 中点）。虚线 \(OP\) 将 \(\triangle AOB\) 分为面积相等的两部分。
\(AB\) 所在直线方程：\(y = -x + 6\)，故 \(P(m, 6-m)\)，其中 \(0 < m < 6\)。
\(S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\)。\(OP\) 平分面积 → \(S_{\triangle AOP} = 9\)。
\(\triangle AOP\)：底 \(OA = 6\)（在 \(y\) 轴上），高为 \(P\) 到 \(y\) 轴的距离即 \(m\)。
\[ S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2} \times 6 \times m = 3m = 9 \]
\[ m = 3,\quad n = 6 - 3 = 3 \]
\[ \boxed{P(3, 3)} \]
此时 \(P\) 恰为 \(AB\) 的中点。结构要点：底在坐标轴上，高就是另一坐标——观察到位则一步出答案。
\(O(0, 0)\)，\(A(0, 6)\)，\(P(m, 6-m)\)，\(0 < m < 6\)。
三边长度：
\[ OA = 6,\quad OP = \sqrt{m^{2} + (6-m)^{2}},\quad AP = \sqrt{m^{2} + m^{2}} = m\sqrt{2} \]
等腰三角形，三边选二逐一检验：
情况① \(OA = OP\)：
\[ 6 = \sqrt{m^{2} + (6-m)^{2}} \]
\[ 36 = 2m^{2} - 12m + 36 \]
\[ 2m(m - 6) = 0 \]
\(m = 0\) 或 \(m = 6\)。\(m = 0\) → \(P = A\)（\(\triangle AOP\) 退化，舍去）。\(m = 6\) → \(P(6, 0) = B\)。验证：此时 \(OA = OB = 6\)，\(\triangle AOB\) 确为等腰。✓
情况② \(OA = AP\)：
\[ 6 = m\sqrt{2} \]
\[ m = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \]
\(0 < 3\sqrt{2} < 6\)，在线段内。\(P(3\sqrt{2},\; 6 - 3\sqrt{2})\)。✓
情况③ \(OP = AP\)：
\[ \sqrt{m^{2} + (6-m)^{2}} = m\sqrt{2} \]
\[ m^{2} + (6-m)^{2} = 2m^{2} \]
\[ 36 - 12m = 0 \]
\[ m = 3 \]
\(P(3, 3)\)。✓
综上，满足条件的点 \(P\) 有三个：
\[ \boxed{P_{1}(3, 3),\quad P_{2}(3\sqrt{2},\; 6-3\sqrt{2}),\quad P_{3}(6, 0)} \]
\(\triangle BOP\)：底 \(OB = 6\)（在 \(x\) 轴上），高为 \(P\) 到 \(x\) 轴的距离即 \(P\) 的纵坐标 \(n = 6 - m\)。
\[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times (6 - m) = 18 - 3m \]
\(P\) 在线段 \(AB\) 上（不与端点重合），故 \(0 < m < 6\)。
当 \(m \to 0^{+}\) 时 \(S \to 18\)（\(P\) 趋近 \(A\)）；当 \(m \to 6^{-}\) 时 \(S \to 0\)（\(P\) 趋近 \(B\)）。
\[ \boxed{S = 18 - 3m,\quad S \in (0,\; 18)} \]
\(S\) 是 \(m\) 的一次函数，随 \(m\) 增大而线性减小。几何解释：\(P\) 从 \(A\) 向 \(B\) 移动时，\(P\) 越来越靠近 \(x\) 轴，\(\triangle BOP\) 的高持续减小，面积随之线性减小。
这道题的三个问分别对应三种不同的几何思维方式。
(1)问用的是"坐标轴上的底"——当三角形的一条边恰好落在坐标轴上时，高就是另一坐标，面积直接写成坐标的函数。这在中考第 22 题中极其高频，命题者用这一问帮你"预热"这个技巧。
(2)问把刚才的坐标技巧和等腰三角形分类结合起来。三种情况逐一列方程，三个解中有一个恰为 \(AB\) 中点 (\(m=3\))、有一个是端点 (\(m=6\))、有一个带根号 (\(m=3\sqrt{2}\))——命题者通过这种"解的类型多样化"来测试学生是否每一种都认真检验了位置。
(3)问继续用"底在坐标轴上"的技巧，但这次底变成了 \(OB\)（在 \(x\) 轴上），高变成了 \(P\) 的纵坐标。这是命题者在暗示：同一个图形里，底和高可以"换着用"——关键是看哪条边落在坐标轴上。
表面考一次函数、等腰分类、面积公式。深层考的是坐标系中的几何直觉——能不能快速识别"底在坐标轴上→高即另一坐标"这个结构，而不必每次都用两点距离公式硬算。三道题用了两次这个技巧（(1)和(3)），但底分别落在了 \(y\) 轴和 \(x\) 轴上——命题者在训练你"换着看"坐标系。
卡在 (2) 的情况①：算出 \(m = 0\) 或 \(m = 6\) 后，很多学生直接把两个值都当作答案。但 \(m = 0\) 时 \(P = A\)，\(\triangle AOP\) 退化为线段，不是三角形——这是"定义域检验"的缺失。命题者故意把退化解放进方程的根里，就是为了筛选出会检验的学生。
几何量代数化。\(AB\) 是一条斜线段，但通过一次函数 \(y = -x + 6\)，\(P\) 的两个坐标被一个参数 \(m\) 锁死——\(n = 6 - m\)。从此以后，\(OP\)、\(AP\)、面积 \(S\) 全部变成 \(m\) 的函数。整个过程不需要画辅助线，不需要证全等，坐标系本身就是最强大的几何工具。这正是解析几何思想在八年级的萌芽。
核心考点：一次函数图像、中点公式、等腰三角形分类、面积与坐标的关系、一次函数的单调性。
关键转化：(2)问的关键一步是把几何条件"等腰"转化为代数方程——三边选二，逐一列方程求解。其中 \(m = 0\) 对应的退化解需要排除——这是分类讨论的完整闭环。
易错点：
区分度来源：(2)的三种情况能否全部列出、(2)的退化解能否识别并排除。
10维自检：