在平面直角坐标系中，反比例函数 \(y = \dfrac{6}{x}\)（\(x > 0\)）的图像与一次函数 \(y = -x + 7\) 的图像交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）。
（1） 求点 A、B 的坐标，并求 \(\triangle AOB\) 的面积。
（2） 记线段 AB 的中点为 C。求证：点 C 落在直线 \(y = x\) 上。
若将一次函数改为 \(y = -x + b\)（\(b > 2\sqrt{6}\)），上述结论是否仍然成立？证明你的判断。
（3） 当 \(b = 5\) 时，求 \(\triangle AOB\) 的面积，并与 \(b = 7\) 时的结果比较。随着 \(b\) 的增大，\(\triangle AOB\) 的面积如何变化？请从几何角度解释这一规律。
图：直线 \(y = -x + 7\) 与双曲线 \(y = \frac{6}{x}\)（\(x>0\)）交于 A(1,6)、B(6,1)。中点 C(3.5, 3.5) 在 y=x 上。
联立：
\[ -x + 7 = \frac{6}{x} \]
\[ x^2 - 7x + 6 = 0 \]
\[ (x-1)(x-6) = 0 \]
\[ x_1 = 1,\quad x_2 = 6 \]
代入 \(y = -x + 7\)：\(y_1 = 6\)，\(y_2 = 1\)。
\[ \boxed{A(1, 6),\quad B(6, 1)} \]
△AOB 面积（O 为原点）：
用"底×高÷2"。直线 AB：\(y = -x + 7\)，化为 \(x + y - 7 = 0\)。
原点到 AB 的距离（高）：
\[ h = \frac{|0 + 0 - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]
底 AB 的长：
\[ |AB| = \sqrt{(6-1)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2} \]
\[ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{35}{2} \]
\[ \boxed{S_{\triangle AOB} = \dfrac{35}{2}} \]
A(1,6)，B(6,1)，中点：
\[ C\left(\frac{1+6}{2}, \frac{6+1}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right) \]
横、纵坐标相等，故 C 在 \(y = x\) 上。✓
推广到 \(y = -x + b\)：
联立 \(-x + b = \dfrac{6}{x}\)，得 \(x^2 - bx + 6 = 0\)。设两根为 \(x_1, x_2\)（均 > 0，且 \(b > 2\sqrt{6}\) 保证相异两实根）。
由韦达定理：\(x_1 + x_2 = b\)。
A\((x_1, -x_1+b)\)，B\((x_2, -x_2+b)\)，中点 C：
\[ x_C = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{b}{2} \]
\[ y_C = \frac{(-x_1+b) + (-x_2+b)}{2} = \frac{2b - (x_1+x_2)}{2} = \frac{2b - b}{2} = \frac{b}{2} \]
\(x_C = y_C = \dfrac{b}{2}\)，中点恒在 \(y = x\) 上。✓
隐藏结构揭示：无论截距 b 如何变化，直线 \(y = -x + b\) 与双曲线 \(y = 6/x\) 两交点的中点永远在 y=x 上。原因是直线斜率为 -1，与 y=x 垂直——y=x 恰好是两交点的对称轴。
b = 5 时：
\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，\(x = 2, 3\)。A(2,3)，B(3,2)。
底 \(|AB| = \sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{2}\)
高（O 到直线 \(x+y-5=0\)）：\(h = \dfrac{5}{\sqrt{2}}\)
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2} \]
与 \(b=7\) 时 \(S = \dfrac{35}{2}\) 比较：\(35/2 \gg 5/2\)，面积大幅增大。
一般公式：直线 \(y = -x + b\) 与双曲线交于 A、B。
韦达定理：\(x_1 + x_2 = b\)，\(x_1 x_2 = 6\)。
\[ |AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \]
其中 \(y_1-y_2 = (-x_1+b)-(-x_2+b) = -(x_1-x_2)\)。
\[ |AB| = \sqrt{2(x_1-x_2)^2} = \sqrt{2} \cdot |x_1-x_2| \]
\[ |x_1-x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{b^2 - 24} \]
\[ |AB| = \sqrt{2(b^2-24)} \]
O 到直线 \(x+y-b=0\) 距离：\(h = \dfrac{b}{\sqrt{2}}\)
\[ S(b) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2(b^2-24)} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b\sqrt{b^2-24}}{2} \]
当 \(b\) 增大时：① 底 \(|AB| = \sqrt{2(b^2-24)}\) 增大（弦变长）；② 高 \(h = b/\sqrt{2}\) 增大（直线远离原点）。两个因素叠加，面积单调递增。
\[ \boxed{S(b) = \dfrac{b\sqrt{b^2-24}}{2} \quad (b > 2\sqrt{6})} \]
这道题的三个问题不是随机排列的，它们构成了一条"从具体到抽象"的认知链。
(1)问让你算 A、B 坐标和面积——这是"踩点"，让你先跟图形混熟。数字 1, 6, 7 不是随便选的：\(x^2-7x+6=0\) 的根是 1 和 6，刚好是整数；面积 \(35/2\) 虽然带了分母，但计算过程极其干净——每步都是整数运算。
(2)问才是命题者的"眼"。前半问让你算 (3.5, 3.5)，你发现横纵坐标相等——"咦，中点在 y=x 上"。后半问突然把 7 换成 b——命题者想看你能不能从"算坐标"切换到"用韦达定理"。这就是中档题区分度的来源：只会代入公式的学生卡在根号里，会韦达定理的学生两行就写完了。
(3)问把 b 降到 5，面积突然从 35/2 跌到 5/2——这不是为了让你多算一次，而是让你感受面积的剧烈变化。最后逼你用几何语言解释"直线远离原点→底变长→高变大→面积增"，而不是丢一个数学公式就跑。这对应中考第 22 题最后那句"请说明理由"。
表面考的是函数交点、中点公式、点到直线距离。但命题者真正想测的是参数化思维——你能不能把"具体的 7"抽象成"一般的 b"，用韦达定理绕开复杂的根号计算？
中考里大量第 22~23 题都有这个特征：前半问给你具体数字暖手，后半问突然抽象化。看到具体数字到一般参数的跳跃，你的第一反应应该是"韦达定理"，而不是"解出来再看"。
卡在 (2) 的推广。典型错误：试图解 \(x_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2-24}}{2}\)，然后带进中点公式，被根号淹没。
为什么会这样？因为学生习惯"先解出坐标，再算中点"。但韦达定理告诉你——你不需要知道每个坐标，你只需要知道它们的和与积。\(x_1+x_2=b\) 就是"和"，中点横坐标直接就是 \(b/2\)。
这是个认知跳跃：从"全知"到"部分知"。很多学生觉得"不知道 x₁ 和 x₂ 分别是什么，心里不踏实"。但数学的精妙之处就在于——有时候不知道全部反而更快。
一句话概括：几何图形的对称性，用代数语言表达出来就是"和与积"。
直线 \(y=-x+b\) 与双曲线 \(y=6/x\) 的两个交点 A 和 B，为什么中点永远在 y=x 上？因为直线斜率为 -1，而 y=x 的斜率为 1，两者互相垂直——y=x 是线段 AB 的垂直平分线的……不完全是。准确地说，两个函数都关于 y=x 对称（双曲线 y=6/x 的反函数就是自身，直线 y=-x+b 关于 y=x 的对称是 y=-x+b 自身，因为斜率为 -1），所以它们的交点天然关于 y=x 对称——中点在 y=x 上是必然的。
这才是这道题真正优雅的地方。你不需要算任何坐标，就能"看到"这个结论。但命题者故意让你先算再发现——让你经历"算出来→咦？→原来如此"的完整认知弧线。
核心考点：一次函数与反比例函数交点、韦达定理、中点公式、点到直线距离、函数单调性。
关键转化：(2)问的关键一步是不直接解出两个坐标，而是用韦达定理处理"和"与"积"——坐标的具体值不知，但中点坐标仍能表达。这是参数化思维在中档题中的典型体现。
易错点：
区分度来源：(2)的推广——能不能从"具体坐标"切换到"韦达定理"，是普通学生和优秀学生的分水岭。算出 A(1,6), B(6,1) → C(3.5,3.5) 人人都会；推广到任意 b 时，继续解根号表达式的人会被卡住，改用 \(x_1+x_2=b\) 的人直接通关。
10维自检：